Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)B，C兩點(diǎn)作直線BC，拋物線上的一點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)F作直線FG//BC交x軸于點(diǎn)G.

（1）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PG與直線BC交于點(diǎn)E，連接EF，PF，當(dāng)的面積最大時(shí)，在x軸上有一點(diǎn)R，使PR+CR的值最小，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出PR+CR的最小值；

（2）如圖2，連接AD，作AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)K，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)C在射線BC上移動(dòng)，平移的距離是t，平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，點(diǎn)C′，連接A′C′，A′K，C′K，A′C′K是否能為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)R坐標(biāo)為（，0）， ；（2）存在，t的值為或.

【解析】

（1）首先求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定直線BC的解析式，求出FG的解析式即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如圖1中，過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線，過(guò)F作x軸的平行線交于點(diǎn)K，連接PK．設(shè)P（m，），因?yàn)?/span>BC∥FG，FG是定值，所以△EFG的面積是定值，所以△PFG的面積最大時(shí)，△PEF的面積最大，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，作P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′C交x軸于R，此時(shí)CR＋RP最小，由此即可解決問(wèn)題．

（2）分三種情形討論即可：①當(dāng)KA′＝A′C′時(shí)，②當(dāng)C′A′＝C′K時(shí)，③當(dāng)KA′＝KC′時(shí)，分別列出方程求解即可．

解：（1）對(duì)于拋物線，另y=0得到，

解得：或，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，0），

∵，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，4），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

則，解得：，

∴直線BC解析式為：，

將F的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：F（，－5），

∵FG//BC，

∴直線FG解析式為：，

令y=0得到，

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為：（），

如圖1中，過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線，過(guò)F作x軸的平行線交于點(diǎn)K，連接PK．

設(shè)P（m，），

∵BC∥FG，FG是定值，

∴△EFG的面積是定值，

∴△PFG的面積最大時(shí)，△PEF的面積最大，

∵S△PFG=S△PGK+S△PFK-S△FGK=

，

∵＜0，

∴m=時(shí)，△PFG的面積最大，即△PEF的面積最大，

∴P（，3），

作P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（，-3），連接P′C交x軸于R，此時(shí)CR+RP最小，

最小值=CP′=，

設(shè)直線P′C的解析式為：，

則，解得：

∴直線P′C的解析式為，

當(dāng)y=0時(shí)，，

∴點(diǎn)R坐標(biāo)為（，0）；

（2）如圖2中，連接DK，DA，

∵A（），D（0，3），

∴OA=，DO=3，

∴tan∠DAO=，

∴∠DAO=60°，

∵KA=KD，

∴△ADK是等邊三角形，

∴AD=AK=，K（，），

①∵A（，0），C（，4），

∴AC=，

當(dāng)KA′=A′C′=AC=時(shí)，

∵AA′=t，tan∠A′AM=tan∠ABC=，

∴sin∠A′AM=sin∠ABC=，

∴A′M=，AM=，

在Rt△A′MK中，A′K2＝A′M2+KM2＝+()2，

∴+()2＝()2，

解得：或（舍去）；

②如圖3，當(dāng)C′A′= C′K時(shí)，連接CK，作KM⊥BC于M，

在Rt△BCK中，

∵，

∴，

∴，

∴C′K2＝KM2+ C′M2＝，

∴，

解得：或（舍去）；

③當(dāng)KA′= KC′時(shí)，+()2＝，

解得：（舍去），

綜上所述，當(dāng)△A′C′K為等腰三角形時(shí)，t的值為或.