Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），一次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（1，-b），其中a＞b＞0且a、b為實(shí)數(shù)．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式（用含b的式子表示）；
（2）試說明：這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)；
（3）設(shè)（2）中的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求|x₁-x₂|的范圍．

Answer 1

分析：（1）一次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，說明這個(gè)一次函數(shù)是正比例函數(shù)，將點(diǎn)（1，-b）的坐標(biāo)代入，即可求得這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將點(diǎn)（1，0）代入拋物線的解析式中，可得到a、b的關(guān)系式，用b替換掉a后聯(lián)立一次函數(shù)的解析式，可得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，判斷方程的根的判別式是否大于0即可．
（3）由題意知：x₁、x₂是（2）題所得一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得|x₁-x₂|的表達(dá)式，然后根據(jù)a、b的符號(hào)以及（2）題所得a、b的關(guān)系式即可得到|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)過原點(diǎn)，
∴設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx；
∵一次函數(shù)過（1，-b），
∴y=-bx．（3分）

（2）∵y=ax²+bx-2過（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由

y=-bx y=ax2+bx-2

，得：（5分）
ax²+bx-2=-bx，
∴ax²+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax²+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）²+8a=16-16a+4a²+8a=4（a²-2a+1）+12=4（a-1）²+12＞0，
∴方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴方程組有兩組不同的解，
∴兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（6分）

（3）∵兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁、x₂分別是方程①的解，
∴x₁+x₂=-

b

a

，∴x₁+x₂=-

2(2-a)

a

，x1x2=

-2

a

；
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4a2-8a+16 a2

=

( 4 a -1)2+3

；
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函數(shù)y=(

4

a

-1)2+3，
∵在1＜a＜2時(shí)，y隨a增大而減小．
∴4＜(

4

a

-1)2+3＜12；（9分）
∴2＜

( 4 a -1)2+3

＜2

3

，
∴2＜|x1-x2|＜2

3

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是函數(shù)圖象交點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的應(yīng)用，能夠結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解不等式是解決（3）題的關(guān)鍵．