Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是第三象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ACD的面積為量求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并確定m為何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？

（3）若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得∠APC=90°？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+3；（2）m為﹣2時(shí)S有最大值，最大值是6（3）P的坐標(biāo)為（﹣， ）或（﹣， ）

【解析】試題分析：(1)、將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式，過點(diǎn)D D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E，設(shè)出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出DE的長度，根據(jù)面積的計(jì)算公式得出面積的二次函數(shù)解析式，從而得出面積的最大值；(3)、以AC為直徑作圓交拋物線的對稱軸于P，根據(jù)點(diǎn)A 和點(diǎn)C的坐標(biāo)得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AC和OP的長度，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，y），然后根據(jù)勾股定理求出y的值，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：(1)、將A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入y=ax2+bx+3得：，

解得， 故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+x+3；

(2)、令x=0，則y=3， ∴C（0，3），

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n， 代入A（﹣4，0）、C（0，3）得， 解得

∴AC的解析式為y=x+3；

過D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E，設(shè)D（m， m2+m+3），E（m， m+3）（﹣4＜m＜﹣1）， 則DE=m+3﹣（m2+m+3）， ∴DE=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×4=2（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣6m=﹣（m+2）2+6，

∴m=﹣2時(shí)，S最大=6； 故m為﹣2時(shí)S有最大值，最大值是6．

(3)、存在點(diǎn)P使得∠APC=90°， 以AC為直徑作圓交拋物線的對稱軸于P，

∵A（﹣4，0）、C（0，3）， ∴AC的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為（﹣2，），AC==5，

∴OP==， ∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）兩點(diǎn)，

∴對稱軸x==﹣， 設(shè)P（﹣，y）， ∴OP2=（）2，

即（﹣2+）2+（﹣y）2=（）2， 解得y=±，

∴P的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）．