【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=∠CFF=45°
(1) 將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °,得到△ABG(如圖1),求證:BE+DF=EF;
(2) 若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點(diǎn)M、N(如圖2),求證:
(3) 將正方形改為長與寬不相等的矩形,其余條件不變(如圖3),直接寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) =2.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可證△AEG≌△AEF;
(2)將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,連結(jié)GM.由(1)知△AEG≌△AEF,則EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后證明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2;
(3)延長EF交AB延長線于M點(diǎn),交AD延長線于N點(diǎn),將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AGH,連結(jié)HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,結(jié)合勾股定理以及相等線段可得(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,所以2(DF2+BE2)=EF2.
(1)證明:∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,
∴AF=AG,∠FAG=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAE=45°,
在△AGE與△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)證明:設(shè)正方形ABCD的邊長為a.
將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,連結(jié)GM.
則△ADF≌△ABG,DF=BG.
由(1)知△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.
∵∠CEF=45°,
∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,
∴a-BE=a-DF,
∴BE=DF,
∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°,
∴∠GME=45°+45°=90°,
∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,
∴EF2=ME2+NF2;
(3)解:EF2=2BE2+2DF2.
如圖所示,延長EF交AB延長線于M點(diǎn),交AD延長線于N點(diǎn),
將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AGH,連結(jié)HM,HE.
由(1)知△AEH≌△AEF,
則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,
即2(DF2+BE2)=EF2
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(1)[ +(-)]×
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A. B. C. D.
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(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格各是多少元?
(2)在實(shí)際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時(shí),甲種樹苗的售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%,乙種樹苗的售價(jià)不變,如果再次購買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?
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【題目】對某批乒乓球質(zhì)量進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查,結(jié)果如下表;
隨機(jī)抽取的乒乓球數(shù) | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
優(yōu)等品數(shù) | 7 | 16 | 43 | 81 | 164 | 410 | 820 |
優(yōu)等頻率 | 0.7 | 0.8 | 0.86 | 0.81 | 0.82 | 0.82 |
(1)填表格中的空為_______.
(2)根據(jù)上表估計(jì),在這批乒乓球中任取一個球,它為優(yōu)等品的概率大約是________.(保留兩位小數(shù)點(diǎn))
(3)學(xué)校需要500個乒乓球的優(yōu)等品,那么可以推測出最有可能進(jìn)這批貨的乒乓球個數(shù)是多少合適?(結(jié)果保留整數(shù))
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