Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=5，CD=4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）6

【解析】分析：（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODC為直角，即可得證；

（2）過O作OM垂直于BE，可得出四邊形ODCM為矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的長(zhǎng)，由垂徑定理可得BE=2BM．

詳解：（1）連接OD．

∵OD=OB，∴ ∠OBD=∠ODB．

∵BD是∠ABC的角平分線，∴ ∠OBD=∠CBD．

∵ ∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．

∵∠C=90，∴∠ODC=90，∴ OD⊥AC．

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴ AC是⊙O的切線．

（2）過圓心O作OMBC交BC于M．

∵BE為⊙O 的弦，且OMBE，∴BM=EM，

∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90° ，

∴四邊形ODCM為矩形，則OM=DC=4．

∵ OB=5，∴BM==3=EM，

∴BE=BM+EM=6．