Question

如圖，四邊形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3， OE==4，BE=1，點(diǎn)C，D是邊OE（與端點(diǎn)O、E不重合）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且CD=1．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△AOD與△BCE相似時(shí)，求OD的長(zhǎng).
（3）連結(jié)AC與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)OD=x，△PDC的面積記為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

（1）AB=；（2）；（3）y=

試題分析：（1）作BF⊥AO，構(gòu)造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，△AOD∽△BEC；②當(dāng)時(shí)，△AOD∽△CEB；然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出函數(shù)解析式．
（1）作BF⊥AO，則四邊形OEBF為矩形，

∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2
∴在Rt△AFB中，；
（2）設(shè)OD=a，則CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①當(dāng)時(shí)，△AOD∽△BEC
∴，解得；
②當(dāng)時(shí)，△AOD∽△CEB
∴
∴a²-3a+3=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
綜上所述，；
（3）作PH⊥OE于H

可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，

∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=PH（x+1）+PH（4-x）=1，

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見(jiàn)題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．