Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣4x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣6）和B（3，﹣9）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)M，使得△QMA的周長(zhǎng)最�。�

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣6；（2）拋物線的對(duì)稱軸方程為x=2，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，10）；（3）m=6，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）；（4）當(dāng)M（2，﹣2）時(shí)，△QMA的周長(zhǎng)最�。�

【解析】

（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組求得a、c的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）用配方法將（1）所得拋物線解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到其對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由于點(diǎn)P在拋物線的圖象上，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足該拋物線的解析式，將其代入拋物線的解析式中，即可求得m的值，進(jìn)而可根據(jù)（2）得到的對(duì)稱軸方程求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（4）△QMA中，QA的長(zhǎng)是定值，若其周長(zhǎng)最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接AP，那么直線AP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)必為所求的M點(diǎn)，可先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）把A（0，﹣6），B（3，﹣9）代入y=ax2﹣4x+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣6；

（2）因?yàn)?/span>y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，

所以拋物線的對(duì)稱軸方程為x=2，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，10）；

（3）把P（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6得m2﹣4m﹣6=m，

整理得m2﹣5m﹣6=0，解得m1=﹣1（舍去），m2=6，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，6），

點(diǎn)P（6，6）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，6），

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）；

（4）連結(jié)AP交直線x=2于點(diǎn)M，如圖，

∵P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∵MA=MP，

∴MQ+MA=MP+MP=AP，

∴此時(shí)MQ+MA最小，則△QMA的周長(zhǎng)最小，

設(shè)AP的解析式為y=kx+b，

把A（0，﹣6），P（6，6）代入得 ，解得，

∴直線AP的解析式為y=2x﹣6，

當(dāng)x=2時(shí)，y=2x﹣6=﹣2，

∴當(dāng)M（2，﹣2）時(shí)，△QMA的周長(zhǎng)最�。�