【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,D是弧BC上一點(diǎn),OD⊥BC,垂足為H.
(1)如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí),求證:AC=2OH;
(2)如圖2,當(dāng)圓心O在△ABC外部時(shí),連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接BD,E為⊙O上一點(diǎn),連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N,連接OE,BF為⊙O的弦,BF⊥OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)24.
【解析】
試題分析:(1)易證OH為△ABC的中位線,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可證∠ACD=∠APB;(3)連接AO延長(zhǎng)交于⊙O于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,連接OB,易證∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根據(jù)tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的長(zhǎng). 利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度,設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長(zhǎng)度,利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)度,最后利用tan∠OED= 即可求得RG的長(zhǎng)度,最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度.
試題解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)連接AO延長(zhǎng)交于⊙O于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,連接OB,
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,
∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,
∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,
設(shè)QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,
∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,當(dāng)QH=時(shí),∴QD=,
∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合題意,舍去,當(dāng)QH=時(shí),∴QD=
∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,
∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.
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【題目】如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求(1)求BF的長(zhǎng)度,(2)求△CEF的面積.
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【題目】下列語(yǔ)句:
①“反證法”就是舉反例說(shuō)明一個(gè)命題是假命題;②“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是真命題;③分式有意義的條件是分子為零且分母不為零;④同旁內(nèi)角互補(bǔ).其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】我國(guó)高速公路發(fā)展迅速,據(jù)報(bào)道,到目前為止,全國(guó)高速公路總里程約為118000千米,用科學(xué)記數(shù)法表示為千米.
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A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=﹣3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣1,x2=﹣3
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(1)選擇的條件是 (填序號(hào))
(2)證明:
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【題目】已知點(diǎn)P1(a,3)與P2(-4,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則ab=_____.
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【題目】(2016山東濰坊第18題)在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x﹣1與x軸交于點(diǎn)A1,如圖所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1,使得點(diǎn)A1、A2、A3、…在直線l上,點(diǎn)C1、C2、C3、…在y軸正半軸上,則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是 .
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