Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1）、C（d，2）
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B，C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′，C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G，問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
友情提示：已知P（x₁，y₁），Q （x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)（）

Answer 1

解：（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵在Rt△CNA和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL），
則AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且點(diǎn)C在第二象限，
∴d=-3；

（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=，點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，
設(shè)C′（m，2），則B′（m+3，1）
把點(diǎn)C′和B′的坐標(biāo)分別代入y=，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，m=3，則k=6，反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=．
得點(diǎn)C′（3，2）；B′（6，1）．
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b，把C′、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，
解得：；
∴直線C′B′的解析式為y=-x+3；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵直線C′B′的解析式為y=-x+3，
∴x=0時，y=3，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），
①當(dāng)∠PGB′=90°時，
∴PG²+GB′²=PB′²，
∴（y-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（y-1）²，
∵y=，
∴（-3）²+x²+6²+（3-1）²=（6-x）²+（-1）²，
解得：x₁=-2，x₂=1，
∴當(dāng)x=-2時，y=-3，當(dāng)x=1時，y=6，
∴P（1，6），P′（-2，-3），
②當(dāng)∠P″B′G=90°時，
∴P″B′²+GB′²=GP″²，
∴（6-x）²+（y-1）²+6²+（3-1）²=（y-3）²+x²，
∵y=，
∴（6-x）²+（-1）²+6²+（3-1）²=（-3）²+x²
解得：x₃=-，x₄=6，
∴當(dāng)x=-時，y=-18，
∴P″（-，-18），
當(dāng)x=6時，y=1，P與B′重合舍去，
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（1，6），P′（-2，-3），P″（-，-18）．
分析：（1）過C作CN垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)N，由A、B及C的坐標(biāo)得出OA，OB，CN的長，再證明Rt△CNA≌Rt△AOB，由∠CAB=90°，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的長，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一問求出的C與B的橫坐標(biāo)之差為3，根據(jù)平移的性質(zhì)得到縱坐標(biāo)不變，故設(shè)出C′（m，2），則B′（m+3，1），再設(shè)出反比例函數(shù)解析式，將C′與B′的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與m的兩方程，消去k得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出k的值，得到反比例函數(shù)解析式，設(shè)直線B′C′的解析式為y=ax+b，將C′與B′的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出直線B′C′的解析式；
（3）此問題要分兩種情況①當(dāng)∠PGB′=90°時，PG²+GB′²=PB′²，②當(dāng)∠P″B′G=90°時，P″B′²+GB′²=GP″²，然后利用勾股定理分別進(jìn)行計算即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，要求學(xué)生掌握知識要全面．