Question

【題目】類比梯形的定義，我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．
（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：
①小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論；
②由此小紅猜想：“對(duì)于任意‘等對(duì)角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例．
（3）已知：在“等對(duì)角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

∵等對(duì)角四邊形ABCD，∠A≠∠C，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）

解：①如圖2，

連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

②不正確，

反例：如圖3，∠A=∠C=90°，AB=AD，

但CB≠CD，

（3）

解：（Ⅰ）如圖4，當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴AE=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4=6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2 ，

∴AC= = =2

（Ⅱ）如圖5，當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，

∴AE=2，DE=2 ，

∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，

∵四邊形BFDE是矩形，

∴DF=BE=3，BF=DE=2 ，

∵∠BCD=60°，

∴CF= ，

∴BC=CF+BF= +2 =3 ，

∴AC= = =2

【解析】（1）利用“等對(duì)角四邊形”這個(gè)概念來(lái)計(jì)算．（2）①利用等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊來(lái)證明；②舉例畫圖；（3）（Ⅰ）當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，求出線段利用勾股定理求解．