【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P是拋物線:y=x2上的動點(點在第一象限內(nèi)).連接 OP,過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q.連接PQ,交y軸于點M.作PA丄x軸于點A,QB丄x軸于點B.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)如圖1,當(dāng)m= 時,
①求線段OP的長和tan∠POM的值;
②在y軸上找一點C,使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形,求點C的坐標(biāo);
(2)如圖2,連接AM、BM,分別與OP、OQ相交于點D、E.
①用含m的代數(shù)式表示點Q的坐標(biāo);
②求證:四邊形ODME是矩形.
【答案】
(1)
解:①∵把x= 代入 y=x2,得 y=2,
∴P( ,2),
∴OP=
∵PA丄x軸,
∴PA∥MO.
∴tan∠P0M=tan∠0PA= = .
②設(shè) Q(n,n2),
∵tan∠QOB=tan∠POM,
∴ .
∴n=-
∴Q(- , ),
∴OQ= .
當(dāng)OQ=OC時,則C1(0, ),C2(0,- );
當(dāng)OQ=CQ時,則C3(0,1);
當(dāng)CQ=CO時,OQ為底,不合題意.
綜上所述,當(dāng)△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形時,所求點C坐標(biāo)為:C1(0, ),C2(0,- ),C3(0,1)
(2)
解:方法一:
①設(shè) Q(n,n2),
∵△APO∽△BOQ,
∴
∴ ,得n=- ,
∴Q(- , ).
②設(shè)直線PQ的解析式為:y=kx+b,把P(m,m2)、Q(- , )代入,得:
,
①﹣②得:m2﹣ =(m+ )k,
解得:k=m﹣ ③,
把③代入①,得:b=1,
∴M(0,1)
∵ ,∠QBO=∠MOA=90°,
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB,
∴QO∥MA
同理可證:EM∥OD
又∵∠EOD=90°,
∴四邊形ODME是矩形.
方法二:
①OP⊥OQ,∴KOP×KOQ=﹣1,
∵KOP= = ,KOQ=﹣ ,
∴l(xiāng)OQ:y=﹣ x,y=x2
∴x1=0(舍),x2=﹣ ,
∴Q(﹣ , ),
設(shè)點C(0,t),O(0,0),
∵△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形.
∴OQ=OC或QO=QC,
∴(0+ )2+(0﹣ )2=(0﹣0)2+(0﹣t)2,∴t=± ,
∴(0+ )2+(0﹣ )2=(﹣ ﹣0)2+( ﹣t)2,∴t=1,
∴C1(0, ),C2(0,﹣ ),C3(0,1),
∵Px=m,∴PY=m2,∴KOP=m,
又OQ⊥OP,∴KOP×KOQ=﹣1,∴KOQ=﹣ ,
∴l(xiāng)OQ:y=﹣ x,
∵y=x2,
∴Q(﹣ , ),P(m,m2),
∴l(xiāng)PQ:y=(m﹣ )x+1,
即M(0,1),又A(m,0),B(﹣ ,0),O(0,0),
∴KAM= =﹣ ,∵KOQ=﹣ ,KAM=KOQ,∴AM∥OQ,
∴KBM= =m,∵KOP=m,∴KBM=KOP,∴BM∥OP,
∴四邊形ODME是平行四邊形,又OP⊥OQ,
∴四邊形ODME為矩形.
【解析】方法一:(1)①已知m的值,代入拋物線的解析式中可求出點P的坐標(biāo);由此確定PA、OA的長,通過解直角三角形易得出結(jié)論.②題干要求△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三種情況來判斷:QO=QC時,Q在線段OC的垂直平分線上,Q、O的縱坐標(biāo)已知,C點坐標(biāo)即可確定;QO=OC時,先求出OQ的長,那么C點坐標(biāo)可確定;
CQ=CO時,OQ為底,不合題意.(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通過相關(guān)的比例線段來表示出點Q的坐標(biāo);②在四邊形ODME中,已知了一個直角,只需判定該四邊形是平行四邊形即可,那么可通過證明兩組對邊平行來得證.方法二:(1)略.(2)利用黃金法則二求出直線OQ的斜率與拋物線聯(lián)立求出Q點坐標(biāo),再利用黃金法則四求出C點坐標(biāo)3分別求出點M,A,O,B坐標(biāo),利用斜率相等,證明MA‖OQ,BM‖OP,從而得出四邊形ODME是平行四邊形,再利用OP⊥OQ證明矩形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是反比例函數(shù)y= (k<0)圖象上的點,PA垂直x軸于點A(﹣1,0),點C的坐標(biāo)為(1,0),PC交y軸于點B,連結(jié)AB,已知AB= .
(1)k的值是;
(2)若M(a,b)是該反比例函數(shù)圖象上的點,且滿足∠MBA<∠ABC,則a的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+1(k≠0)與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象有公共點A(1,2).直線l⊥x軸于點N(3,0),與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別交于點B,C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省是勞務(wù)輸出大省,農(nóng)民外出務(wù)工增長家庭收入的同時,也一定程度影響了子女的管理和教育,缺少管理和教育的留守兒童的學(xué)習(xí)和心理健康狀況等問題日趨顯現(xiàn),成為社會關(guān)注的焦點.該省相關(guān)部門就留守兒童學(xué)習(xí)和心理健康狀況等問題進行調(diào)查,本次抽樣調(diào)查了該省某縣部分留守兒童,將調(diào)查出現(xiàn)的情況分四類,即A類:基本情況正常;B類;有輕度問題;C類:有較為嚴(yán)重問題;D類:有特別嚴(yán)重問題.通過調(diào)查,得到下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息解決下面的問題.
(1)在這次隨機抽樣調(diào)查中,共抽查了多少名學(xué)生留守兒童?
(2)扇形統(tǒng)計圖中C類所占的圓心角是°;這次調(diào)查中為D類的留守兒童有人;
(3)請你估計該縣20000名留守兒童中,出現(xiàn)較為嚴(yán)重問題及以上的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將坐標(biāo)為(0,0),(2,1),(2,4),(0,3)的點依次連結(jié)起來形成一個圖案.
(1)這四個點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變成原來的,將所有的四個點用線段依次連結(jié)起來,所得的圖案與原圖案相比有什么變化?
(2)縱、橫坐標(biāo)分別變成原來的2倍呢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠DAB被對角線AC平分,且AC2=ABAD.我們稱該四邊形為“可分四邊形”,∠DAB稱為“可分角”.
(1)如圖2,在四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求證:四邊形ABCD為“可分四邊形”;
(2)如圖3,四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,則求∠DAB的度數(shù);
(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,且AC=4,則△DAB的最大面積等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:長方形ABCD中,AD=10,AB=4,點Q是BC的中點,點P在AD邊上運動,當(dāng)△BPQ是等腰三角形時,AP的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棋盤中建立如圖的直角坐標(biāo)系,三顆棋子A,O,B的位置如圖,它們分別是(﹣1,1),(0,0)和(1,0).
(1)如圖2,添加棋子C,使A,O,B,C四顆棋子成為一個軸對稱圖形,請在圖中畫出該圖形的對稱軸;
(2)在其他格點位置添加一顆棋子P,使A,O,B,P四顆棋子成為一個軸對稱圖形,請直接寫出棋子P的位置的坐標(biāo).(寫出2個即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知直線y=kx與拋物線y= 交于點A(3,6).
(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;
(2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?
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