【題目】已知是等邊三角形.
(1)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角();得到,和所在直線相交于點.
①如圖,當時,與是否全等? (填“是”或“否”), 度;
②當旋轉(zhuǎn)到如圖所在位置時,求的度數(shù);
(2)如圖,在和上分別截取點和,使,,連接,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角(),得到,和所在直線相交于點,請利用圖探索的度數(shù),直接寫出結(jié)果,不必說明理由.
【答案】(1)①是, 120;②120°;(2)當時,;當時,.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD=AC=AE,∠BAD=∠CAE,然后利用“邊角邊”證明△ABD與△ACE全等;根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABD與∠AEC的度數(shù),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為20°求出∠BAE的度數(shù),然后利用四邊形的內(nèi)角和公式求解即可;
②先利用“邊角邊”證明△BAD和△CAE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB=∠AEC,再利用四邊形ABOE的內(nèi)角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°,再根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°得到∠DAE=60°,從而得解;
(2)先求出B′C′∥BC,證明△AB′C′是等邊三角形,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE,∠BAD=∠CAE,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠ACE,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù),然后分0°<θ≤30°與30°<θ<180°兩種情況求解.
(1)①∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到,△ABC是等邊三角形,
∴AB=AD=AC=AE,∠BAD=∠CAE=20°,
在△ABD與△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
∵θ=20°,
∴∠ABD=∠AEC=(180°-20°)=80°,
又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°,
∴在四邊形ABOE中,∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°;
②由已知得:△ABC和△ADE是全等的等邊三角形,
∴AB=AD=AC=AE,
∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到的,
∴∠BAD=∠CAE=θ,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠AEC,
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°,
∴∠AEC+∠ABD+∠BAD=180°,
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,
∴∠DAE+∠BOE=180°,
又∵∠DAE=60°,
∴∠BOE=120°;
(2)如圖,∵AB=AB′,AC=AC′,
∴,
∴B′C′∥BC,
∵△ABC是等邊三角形,
∴△AB′C′是等邊三角形,
根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB),
=180°-(∠OBC+∠ACB+∠ACE),
=180°-(∠OBC+∠ACB+∠ABD),
=180°-(∠ACB+∠ABC),
=180°-(60°+60°),
=60°,
當時,∠BOE=∠BOC=60°,
當30°<θ<180°時,∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場,為了吸引顧客,在“白色情人節(jié)”當天舉辦了商品有獎酬賓活動,凡購物滿200元者,有兩種獎勵方案供選擇:一是直接獲得20元的禮金券,二是得到一次搖獎的機會.已知在搖獎機內(nèi)裝有2個紅球和2個白球,除顏色外其它都相同,搖獎?wù)弑仨殢膿u獎機內(nèi)一次連續(xù)搖出兩個球,根據(jù)球的顏色(如表)決定送禮金券的多少.
球 | 兩紅 | 一紅一白 | 兩白 |
禮金券(元) | 18 | 24 | 18 |
(1)請你用列表法(或畫樹狀圖法)求一次連續(xù)搖出一紅一白兩球的概率.
(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元,若只考慮獲得最多的禮品券,請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c圖象經(jīng)過點A (1,4)和點C (0,3).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合函數(shù)圖象,直接回答下列問題:
①當﹣1<x<2時,求函數(shù)y的取值范圍: .
②當y≥3時,求x的取值范圍: .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于、兩點.
利用圖中條件,求兩個函數(shù)的解析式;
根據(jù)圖象寫出使的的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】化工材料經(jīng)銷公司購進一種化工原料若干千克,價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每千克60元,不低于每千克30元。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):日銷售量y(千克)是銷售單價x(元)的一次函數(shù),且當x=60時,y=80;x=50時,y=100。在銷售過程中,每天還要支付其他費用450元。
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。
(2)求該公司銷售該原料日獲利w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式。
(3)當銷售單價為多少元時,該公司日獲利最大?最大獲利是多少元。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,公路MN和公路PQ在P點處交匯,點A處有一所中學,AP=160米,∠NPQ=30°,假使拖拉機行駛時周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校是否會受到影響,請說明理由;如果受到影響,已知拖拉機的速度是5米/秒,那么學校受到的影響的時間為多少秒?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx交x軸的負半軸于點A.點B是y軸正半軸上一點,點A關(guān)于點B的對稱點A′恰好落在拋物線上.過點A′作x軸的平行線交拋物線于另一點C.若點A′的橫坐標為1,則A′C的長為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點,以格點為頂點分別按下列要求畫三角形(用陰影表示).
(1)在圖(a)中,畫一個不含直角的三角形,使它的三邊長都是有理數(shù);
(2)在圖(b)中,畫一個直角三角形,使它的斜邊長為;
(3)在圖(c)中,畫一個直角三角形,使它的斜邊長為5,直角邊長都是無理數(shù).
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