Question

【題目】問題情境1：如圖1，AB∥CD，P是ABCD內(nèi)部一點，P在BD的右側(cè)，探究∠B，∠P，∠D之間的關(guān)系？

小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足　 　關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）

問題情境2

如圖3，AB∥CD，P是AB，CD內(nèi)部一點，P在BD的左側(cè)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足　 　關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）

問題遷移：請合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：

已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F

（1）如圖4，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；

（2）如圖5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設(shè)∠E＝m°，用含有n，m°的代數(shù)式直接寫出∠M＝　 　．

Answer 1

【答案】問題情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）

【解析】

問題情境1：過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，進(jìn)而得出：∠B+∠P+∠D=360°；

問題情境2：過點P作EP∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②，③根據(jù)①中的方法可得出結(jié)論；

問題遷移：

（1）如圖4，根據(jù)角平分線定義得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論；

（2）設(shè)∠ABM=x，∠CDM=y，則∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根據(jù)問題情境和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；

（3）同（2）將3倍換為n倍，同理可得結(jié)論．

問題情境1：

如圖2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：

過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，

∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，

即∠B+∠BPD+∠D＝360°，

故答案為：∠B+∠P+∠D＝360°；

問題情境2

如圖3，∠P＝∠B+∠D，理由是：

過點P作EP∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EP，

∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，

∴∠BPD＝∠B+∠D，

即∠P＝∠B+∠D；

故答案為：∠P＝∠B+∠D；

問題遷移：

（1）如圖4，∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，

∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，

由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∵∠E＝80°，

∴∠ABE+∠CDE＝280°，

∴∠EBF+∠EDF＝140°，

∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；

（2）如圖5，∠E+∠M＝60°，理由是：

∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，

由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∴6x+6y+∠E＝360°，

∠E＝60﹣x﹣y，

∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，

∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，

∴∠M＝x+y，

∴∠E+∠M＝60°；

（3）如圖5，∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y，則∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，

由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∴2nx+2ny+∠E＝360°，

∴x+y＝，

∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，

∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，

∴∠M＝；

故答案為：∠M＝．