Question

如圖，已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），過(guò)點(diǎn)F作一條直線與拋物線y=

1

4

x2交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，若以線段AB為直徑作圓，則該圓與直線y=-1的位置關(guān)系是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，分別過(guò)A、E、B作y=-1的垂線，易知EG是梯形ABDC的中位線，則AC+BD=2EG；設(shè)出直線AB的解析式，分別求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；然后表示出AC、BD、AB的長(zhǎng)；若AC+BD=2EG=AB則以AB為直徑的圓與y=-1相交，若2EG＞AB則相離，若2EG＜AB則相交．

解答：解：如圖；設(shè)AB的中點(diǎn)為E，分別過(guò)A、E、B作y=-1的垂線，垂足為C、G、D；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1；
聯(lián)立拋物線解析式，得：

y=kx+1 y= 1 4 x2

，
解得

x=2k+2 k2+1 y=2k2+1+2k k2+1

，

x=2k-2 k2+1 y=2k2+1-2k k2+1

；
故A（2k-2

k2+1

，2k²+1-2k

k2+1

），B（2k+2

k2+1

，2k²+1+2k

k2+1

）；
∴AB=4k²+4，AC=2k²+1-2k

k2+1

+1，BD=2k²+1+2k

k2+1

+1；
∴AC+BD=4k²+4=AB；
易知EG是梯形ACDB的中位線，則AC+BD=2EG；
∴AB=2EG，
∴以AB為直徑的圓與y=-1相切．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到：函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、梯形中位線定理、直線與圓的位置關(guān)系等．