【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A(﹣6,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?若能,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,

∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),

∴y=a(x+2)2﹣4,

又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0),

∴0=a(﹣6+2)2﹣4

解得a= ,

∴此函數(shù)的解析式為y= (x+2)2﹣4,即y= x2+x﹣3


(2)解:∵點(diǎn)C是函數(shù)y= x2+x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn),

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),

又當(dāng)y=0時,有y= x2+x﹣3=0,

解得x1=﹣6,x2=2,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),

則S△ABC= |AB||OC|= ×8×3=12


(3)解:假設(shè)存在這樣的點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.

設(shè)E(x,0),則P(x, x2+x﹣3),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

∵直線AC過點(diǎn)A(﹣6,0),C(0,﹣3),

解得 ,

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(x,﹣ x﹣3),

則|PF|=﹣ x﹣3﹣( x2+x﹣3)=﹣ x2 x,

∴S△APC=S△APF+S△CPF

= |PF||AE|+ |PF||OE|

= |PF||OA|= (﹣ x2 x)×6=﹣ x2 x=﹣ (x+3)2+ ,

∴當(dāng)x=﹣3時,S△APC有最大值 ,

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣


【解析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值,即可解題;(2)易求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo),即可求得OC的長,即可求得△ABC的面積,即可解題;(3)作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和,而這兩個三角形有共同的底PF,這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點(diǎn)間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x,0),則可用x來表示△APC的面積,得到關(guān)于x的一個二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了解九年級學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師對九(1)班50位學(xué)生進(jìn)行測試,根據(jù)測試評分標(biāo)準(zhǔn),將他們的得分進(jìn)行統(tǒng)計后分為AB,C,D四等,并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖.

等第

成績(得分)

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

A

10

7

0.14

9

x

m

B

8

15

0.30

7

8

0.16

C

6

4

0.08

5

y

n

5分以下

3

0.06

合計

50

1

1)直接寫出:mx,y

2)求表示得分為C等的扇形的圓心角的度數(shù);

3)如果該校九年級共有700名學(xué)生,試估計這700名學(xué)生中成績達(dá)到A等和B等的人數(shù)共有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,C=30°,ADBCD,BE是∠ABC的平分線,且交ADP,如果AP=2,則AC的長為( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(探究)如圖①,從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形,有陰影部分沿虛線剪開,拼成圖②的長方形

1)請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積

2)比較兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用字母表示)

(應(yīng)用)請應(yīng)用這個公式完成下列各題

①已知,,則的值為

②計算:

(拓展)①結(jié)果的個位數(shù)字為

②計算:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校開展了讓世界充滿愛的捐款助學(xué)活動,其中八(2)班全體同學(xué)的捐款情況如下表:

捐款金額()

5

10

15

20

50

捐款人數(shù)()

7

18

12

3

由于填表的同學(xué)不小心把墨水滴在了表上,致使表中數(shù)據(jù)不完整,但知道捐款金額為10元的人數(shù)為全班人數(shù)的36%,結(jié)合上表回答下列問題:

(1)(2)班共有多少人?

(2)學(xué)生捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別為多少元?

(3)如果把該班學(xué)生的捐款情況繪制成扇形統(tǒng)計圖,則捐款金額為20元的人數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角為多少度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知點(diǎn)分別在線段上,于點(diǎn)平分

1)求證:平分閱讀下列推理過程,并將推理過程補(bǔ)充完整.

證明:平分,(已知)

(角平分線的定義)

,(已知)

.(等量代換)

,(已知)

,(

,(

,

平分.(

2)若,請直接寫出圖中所有與互余的角.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)規(guī)定:求若千個相同的有理數(shù)(均不等于)的商的運(yùn)算叫做除方,比如等,類比有理數(shù)的乘方,我們把記作,讀作“的圈次方”,記作,讀作“的圈次方”,一般地,把相除記作,讀作“的圈次方”.

初步探究:(1)直接寫出結(jié)果:

2)下列關(guān)于除方的說法中,錯誤的是

A.任何非零數(shù)的圈次方都等于

B.對于任何正整數(shù)的圈次方等于

C

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方的結(jié)果是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方的結(jié)果是正數(shù)

深入思考:我們知道,有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢?

3)試一試,把下列除方運(yùn)算直接寫成冪的形式

4)想一想,請把有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列各式,屬于二元一次方程的個數(shù)有( 。

①xy+2xy7②4x+1xy;+y5;④xy;⑤x2y22⑥6x2y;⑦x+y+z1;⑧yy1)=2x2y2+xy

A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,直線y=﹣ x+8,與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C,以AC為對角線作矩形OABC,點(diǎn)P、Q分別為射線OC、射線AC上的動點(diǎn),且有AQ=2CP,連結(jié)PQ,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,t).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)若t=1時,連接BQ,求△ABQ的面積.
(3)如圖2,以PQ為直徑作⊙I,記⊙I與射線AC的另一個交點(diǎn)為E.

①若 = ,求此時t的值.
②若圓心I在△ABC內(nèi)部(不包含邊上),則此時t的取值范圍為是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案