Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+與坐標(biāo)軸交與點A、B．點C在x軸的負(fù)半軸上，且AB：AC＝1：2．

（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；

（2）若點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）點P是y軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點，且以AB為邊的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣3，0）；（2）S＝；（3）存在，滿足題意的點Q的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）

【解析】

（1）求出A，B兩點的坐標(biāo)，求出AB＝2，則OC可求出，則點C的坐標(biāo)可求出；

（2）先求出∠ABC＝90°，分兩種情況考慮：當(dāng)M在線段BC上；當(dāng)M在線段BC延長線上；表示出BM，利用三角形面積公式分別表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）點P是y軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，如圖所示，利用菱形的性質(zhì)，根據(jù)AQ與y軸平行或垂直，求出滿足題意Q得坐標(biāo)即可．

解：（1）對于直線y＝﹣x+，

當(dāng)y＝0 時，＝0，

解得：x＝1，

∴A（1，0），

∴OA＝1，

當(dāng)x＝0 時，y＝，

∴B（0，），

∴OB＝，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝＝＝2，

∵AB：AC＝1：2，

∴AC＝4，

∴OC＝3，

∴C（﹣3，0）；

（2）如圖所示，

∵，，，

∴∠ABO＝30°，

同理：BC＝2，∠OCB＝30°，

∴∠OBC＝60°，

∴∠ABC＝90°，

分兩種情況考慮：

①若M在線段BC上時，

BC＝2，CM＝t，可得BM＝BC﹣CM＝2﹣t，

此時S△ABM＝BMAB＝×（2﹣t）×2＝2﹣t（0≤t＜2）；

②若M在BC延長線上時，BC＝2，CM＝t，

可得BM＝CM﹣BC＝t﹣2，

此時S△ABM＝BMAB＝×（t﹣2）×2＝t﹣2（t≥2）；

綜上所述，S＝；

（3）存在．若AB是菱形的邊，如下圖所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1點的坐標(biāo)為（﹣1，0），

在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2點的坐標(biāo)為（1，2），

在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3點的坐標(biāo)為（1，﹣2），

綜上，滿足題意的點Q的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）．