Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為拋物線的對稱軸是x= ，

設(shè)解析式為y=a（x﹣ ）2+k．

把A，B兩點坐標(biāo)代入上式，得 ，

解得a= ，k=﹣ ．

故拋物線解析式為y= （x﹣ ）2﹣ ，頂點為（ ，﹣ ）

（2）

解：∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y= （x﹣ ）2﹣ ，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離．

∵OA是OEAF的對角線，

∴S=2S△OAE=2× ×OA|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ）2+25．

因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），

所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

① 根據(jù)題意，當(dāng)S=24時，即﹣4（x﹣ ）2+25=24．

化簡，得（x﹣ ）2= ．

解得x1=3，x2=4．

故所求的點E有兩個，

分別為E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），

點E1（3，﹣4）滿足OE=AE，

所以平行四邊形OEAF是菱形；

點E2（4，﹣4）不滿足OE=AE，

所以平行四邊形OEAF不是菱形；

②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，

此時點E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），

而坐標(biāo)為（3，﹣3）的點不在拋物線上，

故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形

【解析】（1）已知了拋物線的對稱軸解析式，可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線，然后將A、B兩點坐標(biāo)代入求解即可．（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點的橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標(biāo)，那么E點縱坐標(biāo)的絕對值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
①將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點的坐標(biāo)和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點的坐標(biāo)為（3，﹣3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點．