Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P沿射線BD運(yùn)動(dòng)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PQ．

(1)當(dāng)點(diǎn)Q落到AD上時(shí)，∠PAB＝____°，PA＝_____，長(zhǎng)為_____；

(2)當(dāng)AP⊥BD時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P0，點(diǎn)Q為Q0，移動(dòng)點(diǎn)P的位置，求∠QQ0D的大小；

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)以點(diǎn)Q為圓心，BP為半徑的圓與直線BD相切時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；

(4)點(diǎn)P在線段BD上，由B向D運(yùn)動(dòng)過(guò)程(包含B、D兩點(diǎn))中，求CQ的取值范圍，直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

【答案】(1)45，，π；(2)滿足條件的∠QQ0D為45°或135°；(3)BP的長(zhǎng)為或；(4)≤CQ≤7.

【解析】

(1)由已知，可知△APQ為等腰直角三角形，可得∠PAB，再利用三角形相似可得PA，及弧AQ的長(zhǎng)度；

(2)分點(diǎn)Q在BD上方和下方的情況討論求解即可．

(3)分別討論點(diǎn)Q在BD上方和下方的情況，利用切線性質(zhì)，在由(2)用BP0表示BP，由射影定理計(jì)算即可；

(4)由(2)可知，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)Qo，且與BD夾角為45°的線段EF上運(yùn)動(dòng)，有圖形可知，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，CQ最長(zhǎng)為7，再由垂線段最短，應(yīng)用面積法求CQ最小值．

解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P做PE⊥AD于點(diǎn)E

由已知，AP＝PQ，∠APQ＝90°

∴△APQ為等腰直角三角形

∴∠PAQ＝∠PAB＝45°

設(shè)PE＝x，則AE＝x，DE＝4﹣x

∵PE∥AB

∴△DEP∽△DAB

∴=

∴=

解得x＝

∴PA＝PE＝

∴弧AQ的長(zhǎng)為2π＝π．

故答案為：45，，π．

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)Q做QF⊥BD于點(diǎn)F

由∠APQ＝90°，

∴∠APP0+∠QPD＝90°

∵∠P0AP+∠APP0＝90°

∴∠QPD＝∠P0AP

∵AP＝PQ

∴△APP0≌△PQF

∴AP0＝PF，P0P＝QF

∵AP0＝P0Q0

∴Q0D＝P0P

∴QF＝FQ0

∴∠QQ0D＝45°．

當(dāng)點(diǎn)Q在BD的右下方時(shí)，同理可得∠PQ0Q＝45°，

此時(shí)∠QQ0D＝135°，

綜上所述，滿足條件的∠QQ0D為45°或135°．

(3)如圖當(dāng)點(diǎn)Q直線BD上方，當(dāng)以點(diǎn)Q為圓心，BP為半徑的圓與直線BD相切時(shí)

過(guò)點(diǎn)Q做QF⊥BD于點(diǎn)F，則QF＝BP

由(2)可知，PP0＝BP

∴BP0＝BP

∵AB＝3，AD＝4

∴BD＝5

∵△ABP0∽△DBA

∴AB2＝BP0BD

∴9＝BP×5

∴BP＝

同理，當(dāng)點(diǎn)Q位于BD下方時(shí)，可求得BP＝

故BP的長(zhǎng)為或

(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°

則如圖，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)Q0，且與BD夾角為45°的線段EF上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合，此時(shí)，CF＝4﹣3＝1

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，此時(shí)，CE＝4+3＝7

∴EF＝==5

過(guò)點(diǎn)C做CH⊥EF于點(diǎn)H

由面積法可知

CH＝==

∴CQ的取值范圍為：≤CQ≤7