Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），對于線段AB和x軸上方的點P給出如下定義：當時，稱點P為線段AB的“半月點”．

（1）若時，

①在點C（3，1），D（5，3），E（2，4）中，線段AB的“半月點”有 ；

②在直線上存在線段AB的“半月點”，求b的取值范圍．

（2）請從下面兩個問題中任選一個作答．

溫馨提示：兩題均答不重復(fù)計分．

問題一：直線與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段AB的所有“半月點”都在內(nèi)部，直接寫出m的取值范圍．

問題二：點G（3，﹣1），點P為線段AB的“半月點”，直線GP把線段AB分成1：3兩部分，當時，直接寫出點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E；②；（2）問題1：；（2）問題2：點P的橫坐標的取值范圍為，．

【解析】

（1）①如圖畫出“半月型”的圖形即可判斷；

②當直線經(jīng)過點B（6，0）時，，當直線與相切時，由，消去y整理得到，由題意，可得，解得或﹣6，由此即可判斷；

（2）問題一：易知“半月型”的大圓半徑為，小圓半徑為2，當“半月型”與y軸相切時，，當“半月型”與直線相切時，易知切點為（10，4），此時B（10，0），，即可推出當時，線段AB的所有“半月點”都在內(nèi)部．

問題二：如圖3中，直線PG分線段AB三等分，①當直線PG經(jīng)過Q（2，0）時，直線PG的解析式為，由求得，由，求得，即可得點P的橫坐標的范圍.

②當直線PG經(jīng)過F（4，0）時，同法可求.

（1）①如圖1，

由已知可知AE=BE=4，∠EAB=90°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

AF=DF=3，∠AFD=90°，∴∠DAF=45°，

∴∠DAF+∠ABE=90°，

∴∠AHB=90°，

∴∠ADB<90°，∠ACB>90°，

∴線段AB的“半月點”有D，E，

故答案為D、E．

②如圖2中，

ⅰ當直線經(jīng)過點B（6，0）時，，

ⅱ當直線與相切時，由，

消去y整理得到，

由題意，可得，解得或﹣6，

綜上所述，在直線上存在線段AB的“半月點”，b的取值范圍為．

（3）問題一：如圖，由上可知半圓AB的中點Q為“半月型”的大圓的圓心，

則“半月型”大圓的半徑為，小圓半徑為2，

當“半月型”與y軸相切時，即QF⊥y軸時，此時QF=2，則，

當“半月型”與直線相切時，即AP⊥直線y=-x+14，

此時切點為P，∠PBA=90°，

又直線y=-x+14與x軸的夾角∠PGB=45°，

∴∠PAB=45°，

∴△PAG為等腰直角三角形，

∴BG=PB=AB=4，

又y=0時，0=-x+14，解得x=14，即G（14，0），

∴P（10，4），B（10，0），A（6，0）

即，

∴當時，線段AB的所有“半月點”都在△MON內(nèi)部．

問題2：如圖3中，

∵直線PG分線段AB三等分，

①當直線PG經(jīng)過Q（2，0）時，

直線PG的解析式為，

由，解得或（舍去），

∴，

由，解得或（舍去），

∴，

∴點P的橫坐標的范圍為．

②當直線PG經(jīng)過F（4，0）時，

直線PG的解析式為，同法可得點P的橫坐標的取值范圍為，

綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標的取值范圍為，．