Question

學(xué)習(xí)與探究：
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1的正方形ABCD中，作出使∠APB=90°的所有點(diǎn)P，并簡要說明做法．我們可以這樣解決問題：利用直徑所對(duì)的圓周角等于90°，作以AB為直徑的圓，則正方形ABCD內(nèi)部的半圓上所有點(diǎn)（A、B除外）為所求．
（2）請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形ABCD內(nèi)（含邊），畫出使∠APB=60°的所有的點(diǎn)P，尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡；
（3）如圖3，已知矩形ABCD中，AB=4，AC=3，請(qǐng)?jiān)诰匦蝺?nèi)（含邊），畫出∠APB=60°的所有的點(diǎn)P，尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡．

Answer 1

解：（1）在以AB為直徑的半圓上，A，B兩點(diǎn)除外；

（2）如圖②，
作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，弧EF上所有的點(diǎn)均可．
理由：同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，

（3）如圖③，畫法如圖：
①連接AC；
②以AB為邊作等邊△ABE；
③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點(diǎn)P；
④在AC上截取AP'=CP．則點(diǎn)P、P′為所求．
（評(píng)卷時(shí)，作圖準(zhǔn)確，無畫法的不扣分）
分析：（1）利用直徑所對(duì)圓周角等于90°，即可得出；
（2）①以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊△ABP；
②作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，由于在⊙O中，弦AB所對(duì)的上的圓周角均為60°，所以上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)P．
（3）因?yàn)椤螦PB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面積最大，所以同（2）：
①連接AC；②以AB為邊作等邊△ABE；③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點(diǎn)P；④在AC上截取AP'=CP．則點(diǎn)P、P′為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，綜合利用正方形的性質(zhì)和同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等得知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．