Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根據內錯角相等，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO．
試題解析：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）連接AC，如圖：

∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO．
考點: 1.平行四邊形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質.