【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A(x,0),B(x,y),若線段AB上存在一點Q滿足,則稱點Q是線段AB的“倍分點”.
(1)若點A(1,0),AB=3,點Q是線段AB的“倍分點”.
①求點Q的坐標;
②若點A關于直線y=x的對稱點為A′,當點B在第一象限時,求;
(2)⊙T的圓心T(0,t),半徑為2,點Q在直線y= x上,⊙T上存在點B,使點Q是線段AB的“倍分點”,直接寫出t的取值范圍.
【答案】(1)①Q(1,1)或Q'(1,﹣1),②;(2)t的取值范圍為﹣4≤t≤4
【解析】
(1) ①根據(jù) “倍分點”的定義及A(1,0),AB=3,可得Q的坐標;②點A(1,0)關于直線y=x的對稱點為A′(0,1),可得QA=QA′,可得答案;
(2)分①當A,B都在⊙T1上時,可得t的值,②當⊙T2上只有一個點Q是線段AB的“倍分點”時,過點T2作T2Q⊥圖象L于點Q,交⊙T2于點N,過點Q作QD⊥x軸于點D,可得t的取值范圍.
解:(1)如圖1,
∵A(1,0),AB=3
∴B(1,3)或B'(1,﹣3)
∵
∴Q(1,1)或Q'(1,﹣1)
(2)點A(1,0)關于直線y=x的對稱點為A′(0,1),如圖1,
∴QA=QA′
∴,
(3)①當A,B都在⊙T1上時,⊙T1與L沒有交點,
∵⊙T1的半徑為2,
∴此時點T1的坐標為(0,﹣4);
②當⊙T2上只有一個點Q是線段AB的“倍分點”時,過點T2作T2Q⊥圖象L于點Q,交⊙T2于點N,過點Q作QD⊥x軸于點D,
∵圖象L的解析式為y=x(x>0),
∴∠QOT=60°,∠OT2Q=30°.
∵點T2的坐標為(0,t),
∴OQ=t,DQ=OQ=t,T2O=t.
由“倍分點”的定義可知:OB=2DQ,即t﹣2=t,
解得:t=4,
綜上所述:t的取值范圍為﹣4≤t≤4.
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【題目】如圖,直角坐標平面內,小明站在點A(﹣10,0)處觀察y軸,眼睛距地面1.5米,他的前方5米處有一堵墻DC,若墻高DC=2米,則小明在y軸上的盲區(qū)(即OE的長度)為_____米.
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【題目】有A、B兩組卡片共5張,A組的三張分別寫有數(shù)字2,4,6,B組的兩張分別寫有3,5.它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別,
(1)隨機從A組抽取一張,求抽到數(shù)字為2的概率;
(2)隨機地分別從A組、B組各抽取一張,請你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結果.現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則:若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù),則甲獲勝;否則乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?為什么?
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,過點A作AD∥BC,與∠ABC的平分線交于點D,BD與AC交于點E,與⊙O交于點F.
(1)求∠DAF的度數(shù);
(2)求證:AE2=EFED;
(3)求證:AD是⊙O的切線.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+2與雙曲線相交于點A(m,3).
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)畫出直線和雙曲線的示意圖;
(3)若P是坐標軸上一點,當OA=PA時.直接寫出點P的坐標.
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【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=DQ,求點F的坐標.
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【題目】如圖,在一條河的北岸有兩個目標M、N,現(xiàn)在位于它的對岸設定兩個觀測點A、B.已知AB∥MN,在A點測得∠MAB=60°,在B點測得∠MBA=45°,AB=600米.
(1)求點M到AB的距離;(結果保留根號)
(2)在B點又測得∠NBA=53°,求MN的長.(結果精確到1米)
(參考數(shù)據(jù):≈1.732,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75)
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【題目】為了預防疾病,某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例,藥物燃燒后,y與x成反比例(如圖),現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢,此時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,解答下列問題:
(1)藥物燃燒時,y關于x的函數(shù)關系式為________,自變量x的取值范為________;藥物燃燒后,y關于x的函數(shù)關系式為________.
(2)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室,那么從消毒開始,至少需要經過________分鐘后,員工才能回到辦公室;
(3)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?
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【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標系中,若x2﹣2x+2=0的兩根是x1、x2,且OC=x1+x2,OA=x1x2
(1)求B點的坐標.
(2)把△ABC沿AC對折,點B落在點B′處,線段AB′與x軸交于點D,求直線BD的解析式.
(3)在平面上是否存在點P,使D、C、B、P四點形成的四邊形為平形四邊形?若存在,請直接寫出P點坐標;若不存在,請說明理由.
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