【題目】如圖,點P為直徑BA延長線上一點,D為圓上一點,BH⊥PD于H,BD恰好平分∠PBH,BH交⊙O于C,連接CD,OD.
(1)求證:PD為⊙O的切線;
(2)若CD=2,∠ABD=30°,求⊙O的直徑.
【答案】(1)見解析;(2)⊙O的直徑的長為4.
【解析】
(1)利用∠1=∠3,∠1=∠2,得到∠2=∠3,則可證明BH∥OD,利用平行線的性質(zhì)得到OD⊥PH,從而證得PD為⊙O的切線;
(2)連接OC,如圖,先證明△OCB為等邊三角形得到∠BOC=60°,再利用平行線的性質(zhì)得到∠BOD=120°,所以∠DOC=60°,然后判定△OCD為等邊三角形,則OD=CD=2,從而得到⊙O的直徑的長.
(1)證明:∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴BH∥OD,
∵BH⊥PH,
∴OD⊥PH,
∵D為圓上一點,
∴PD為⊙O的切線;
(2)解:連接OC,如圖,
∵∠1=30°,
∴∠2=∠3=30°,
∴∠OBC=60°,
∴△OCB為等邊三角形,
∴∠BOC=60°,
∵BC∥OD,
∴∠BOD=180°-∠OBC=120°,
∴∠DOC=60°,
而OC=OD,
∴△OCD為等邊三角形,
∴OD=CD=2,
∴⊙O的直徑的長為4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當(dāng)△BDC的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB于點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】課外閱讀是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要途徑,亞光初中為了了解學(xué)校學(xué)生的閱讀情況,組織調(diào)查組對全校三個年級共1500名學(xué)生進行了抽樣調(diào)查,抽取的樣本容量為300。已知該校有初一學(xué)生600名,初二學(xué)生500名,初三學(xué)生400名。
(1)為使調(diào)查的結(jié)果更加準(zhǔn)確地反映全校的總體情況,應(yīng)分別在初一年級隨機抽取 人;在初二年級隨機抽取 人;在初三年級隨機抽取 人(請直接填空)。
(2)調(diào)查組對本校學(xué)生課外閱讀量的統(tǒng)計結(jié)果分別用扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖表示如下,請根據(jù)上統(tǒng)計圖,計算樣本中各類閱讀量的人數(shù),并補全頻數(shù)分布直方圖。
(3)根據(jù)(2)的調(diào)查結(jié)果,從該校中隨機抽取一名學(xué)生,他最大可能的閱讀量是多少本?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是菱形ABCD的對角線.
(1)請用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線EF,垂足為點E,交AD于點F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,連接BF,若∠CBD=75°,求∠DBF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教室里的飲水機接通電源就進入自動程序,開機加熱時每分鐘上升10℃,加熱100℃,停止加熱,水溫開始下降,此時水溫(℃)與開機后用時(min)成反比例關(guān)系.直至水溫降至30℃,飲水機關(guān)機.飲水機關(guān)機后即刻自動開機,重復(fù)上述自動程序.若在水溫為30℃時,接通電源后,水溫y(℃)和時間(min)的關(guān)系如圖,為了在上午第一節(jié)下課時(8:25)能喝到不小于70℃的水,則接通電源的時間可以是當(dāng)天上午的( ).
A.7:00 B.7:10 C.7:25 D.7:35
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線MN是線段BC的垂直平分線,垂足為O,P為射線OM上的一點,連接BP,PC.將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn),得到線段PQ(PQ與PC不重合),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°)直線CQ交MN與點D.
(1)如圖1,當(dāng)α=30°,且點P與點O重合時,∠CDM的度數(shù)是 ;
(2)如圖2,且點P與點O不重合.
①當(dāng)α=120°時,求∠CDM的度數(shù);
②用含α的代數(shù)式表示∠CDM的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鮮豐水果店計劃用元/盒的進價購進一款水果禮盒以備銷售.
據(jù)調(diào)查,當(dāng)該種水果禮盒的售價為元/盒時,月銷量為盒,每盒售價每增長元,月銷量就相應(yīng)減少盒,若使水果禮盒的月銷量不低于盒,每盒售價應(yīng)不高于多少元?
在實際銷售時,由于天氣和運輸?shù)脑,每盒水果禮盒的進價提高了,而每盒水果禮盒的售價比(1)中最高售價減少了,月銷量比(1)中最低月銷量盒增加了,結(jié)果該月水果店銷售該水果禮盒的利潤達到了元,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兄弟兩人騎馬進城,全程51,馬每小時行12,但只能由一個人騎.哥哥每小時步行5,弟弟每小時步行4.兩人輪換騎馬和步行,騎馬者走過一段距離就下鞍拴馬(下鞍拴馬的時間忽略不計),然后獨自步行,而步行者到達此地,再上馬前進.若他們早上8:00出發(fā),并且同時到達城門,那么他們到達的時間是_____.
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