Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，E為AC中點(diǎn)．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F點(diǎn)，連接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度數(shù)；

（2）若M為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)D不重合），過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AM于N點(diǎn)，射線EN，AB交于P點(diǎn)．

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②小宇通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有∠APE=2∠MAD．

小宇把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：連接DE，要證∠APE=2∠MAD，只需證∠PED=2∠MAD．

想法2：設(shè)∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通過(guò)角度計(jì)算得∠APE=2α．

想法3：在NE上取點(diǎn)Q，使∠NAQ=2∠MAD，要證∠APE=2∠MAD，只需證△NAQ∽△APQ．……

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小宇證明∠APE =2∠MAD．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）① 補(bǔ)圖見解析;②證明見解析.

【解析】（1）證明：∵AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAD=20°，

∴∠BAC=2∠BAD=40°．　

∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°．

∵E為AC中點(diǎn)，

∴EF=EA= ．

∴∠AFE=∠BAC=40°．

（2）①

畫出一種即可．　

②證明：

想法1：連接DE．

∵AB=AC，AD為BC邊上的高，

∴D為BC中點(diǎn)．

∵E為AC中點(diǎn)，

∴ED∥AB，

∴∠1=∠APE．

∵∠ADC=90°，E為AC中點(diǎn)，

∴．

同理可證．

∴AE=NE=CE=DE．

∴A，N，D，C在以點(diǎn)E為圓心，AC為直徑的圓上．

∴∠1=2∠MAD．

∴∠APE=2∠MAD．