Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+1與x軸交于兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BD∥CA拋物線交于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）先求出直線AC的解析式，由于BD∥AC，那么直線BD的斜率與直線AC的相同，可據(jù)此求出直線BD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；由圖知四邊形ACBD的面積是△ABC和△ABD的面積和，由此可求得其面積；
（3）易知OA=OB=OC=1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，則∠CBD=90°；根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC、BD的長，進(jìn)而可求出它們的比例關(guān)系；若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，那么兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊應(yīng)該成立，可據(jù)此求出△AMN兩條直角邊的比例關(guān)系，連接拋物線的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）依題意，得：，解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+1；

（2）易知A（-1，0），C（0，1），則直線AC的解析式為：y=x+1；
由于AC∥BD，可設(shè)直線BD的解析式為y=x+h，則有：1+h=0，h=-1；
∴直線BD的解析式為y=x-1；聯(lián)立拋物線的解析式得：
，解得，；
∴D（-2，-3）；
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=×2×1+×2×3=4；

（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=，BD=3；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，則有：
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
=或=3；
即MN=AN或MN=3AN；
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²+1），
①當(dāng)x＞1時(shí)，AN=x-（-1）=x+1，MN=x²-1；
∴x²-1=（x+1）或x²-1=3（x+1）
解得x=，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）；
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M（，-）或（4，-15）；
②當(dāng)x＜-1時(shí)，AN=-1-x，MN=x²-1；
∴x²-1=（-x-1）或x²-1=3（-x-1）
解得x=，x=-1（兩個(gè)都不合題意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）；
∴M（-2，-3）；
故存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：M（，-）或（4，-15）或（-2，-3）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．