【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c均是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)O(0,0),A(4,4),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P.

(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)過點(diǎn)Px軸的平行線l,若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),連接QB.

①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)線段AD的長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(直接寫出答案即可).

【答案】(1)y=﹣(x﹣2+;(,);(2)(﹣,)或(,);(0,);

【解析】

1)0(0,0),A(4,4v3)的坐標(biāo)代入

y=x2+bx+c,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.

(2)先求出直線OA的解析式,點(diǎn)B坐標(biāo),拋物線的對(duì)稱軸即可解決問題.

(3)①如圖1,點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),首先證明四邊形BOQC是菱形,設(shè)Qm,,根據(jù)OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解決問題.

②如圖2,由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的OB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A,D、B共線時(shí),線段AD最小,設(shè)ODBQ交于點(diǎn)H.先求出D、H兩點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線BH的解析式即可解決問題.

(1)把O(0,0),A(4,4)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,

,

解得,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+5x=﹣(x﹣2+

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

(2)①由題意B(5,0),A(4,4),

∴直線OA的解析式為y=x,AB==7,

∵拋物線的對(duì)稱軸x=,

P(,).

如圖1中,點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),

QCOB,

∴∠CQB=QBO=QBC,

CQ=BC=OB=5,

∴四邊形BOQC是平行四邊形,

BO=BC,

∴四邊形BOQC是菱形,

設(shè)Q(m,),

OQ=OB=5,

m2+(2=52,

m=±,

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(﹣,)或();

②如圖2中,由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A、D、B共線時(shí),線段AD最小,設(shè)ODBQ交于點(diǎn)H.

AB=7,BD=5,

AD=2,D(,),

OH=HD,

H(),

∴直線BH的解析式為y=﹣x+,

當(dāng)y=時(shí),x=0,

Q(0,).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A(﹣3,0),C(0,﹣)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)CCE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并求AC、BE的交點(diǎn)F的坐標(biāo)

(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D,連結(jié)DC、DE,四邊形CDEF是否為菱形?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,函數(shù)(是常數(shù),)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是(

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某班將舉行“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),班長(zhǎng)安排小明購(gòu)買獎(jiǎng)品,下面兩圖是小明買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話情境:

請(qǐng)根據(jù)上面的信息,解決問題:

(1)試計(jì)算兩種筆記本各買了多少本?

(2)請(qǐng)你解釋:小明為什么不可能找回68元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了進(jìn)一步了解某校初中學(xué)生的體質(zhì)健康狀況,對(duì)八年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行了體質(zhì)監(jiān)測(cè),同時(shí)統(tǒng)計(jì)了每個(gè)人的得分(假設(shè)這個(gè)得分為,滿分為50).體質(zhì)檢測(cè)的成績(jī)分為四個(gè)等級(jí):優(yōu)秀、良好、合格、不合格.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下列兩福不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息回答以下問題:

(1)補(bǔ)全上面的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)被測(cè)試的部分八年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在 等級(jí):

(3)若該校八年級(jí)有1400名學(xué)生,估計(jì)該校八年級(jí)體質(zhì)為不合格的學(xué)生約有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2,且過點(diǎn)C(0,3)

(1)求此拋物線的解析式;

(2)證明:該拋物線恒在直線y=﹣2x+1上方.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上一點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O,交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,且∠BEC=BDE.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)連接OCBE于點(diǎn)F,若,求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果兩個(gè)三角形兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.________(判斷對(duì)錯(cuò))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某小學(xué)演講大賽選拔賽初賽中,甲、乙、丙三位評(píng)委對(duì)小選手的綜合表現(xiàn),分別給出待定(用字母W表示)或通過(用字母P表示)的結(jié)論.

(1)請(qǐng)用樹狀圖表示出三位評(píng)委給小選手琪琪的所有可能的結(jié)論;

(2)對(duì)于小選手琪琪,只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論的概率是多少?

(3)比賽規(guī)定,三位評(píng)委中至少有兩位給出通過的結(jié)論,則小選手可入圍進(jìn)入復(fù)賽,問琪琪進(jìn)入復(fù)賽的概率是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案