Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，其中點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，線段、的長（）是方程的兩個根，且點坐標為．

（1）求此二次函數(shù)的表達式；

（2）若點是線段上的一個動點（與點、不重合），過點作∥交于點，連接. 設的長為，△的面積為，求S與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的基礎上試說明是否存在最大值，若存在，請求出的最大值，并求出此時點的坐標，判斷此時△的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0<m<8);（3）當時有最大值，此時點的坐標為，△為等腰三角形.

【解析】

（1）通過解方程x210x＋16＝0得到二次函數(shù)圖象上的點B、C的坐標，再結合A的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）用m表述出AE、BE的長，得到△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質得到比例式，求出EF的表達式，利用sin∠FEG＝sin∠CAB＝得到，求出FG的表達式，再根據(jù)S＝S△BCES△BFE求S與m之間的函數(shù)關系，m的值不超過AB的長．

（3）將S＝m2＋4配方為S＝（m4）2＋8，求出S的最大值，進而判斷出此時△BCE的形狀．

（1）方程的兩個根為2和8.

由于，所以，，故，點坐標為.

因為點坐標為，所以．

解得，.

故此二次函數(shù)的表達式為.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自變量m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴點E的坐標為（2，0）．

∴△BCE為等腰三角形．