Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+m+1的圖象與x軸交于A、B兩點，點C為頂點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若將二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸翻折，所得圖象的頂點為D，若CD=8．求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，

∴△=4m2﹣4（m2+m+1）=﹣4m﹣4＞0，

∴m＜﹣1；

（2）解：y=x2﹣2m x+m2+m+1=（x﹣m） 2+m+1，

∵CD=8，

∴m+1=﹣4，解得m=﹣5，

∴y=x2+10 x+21，

令y=0，x2+10 x+21=0，解得x1=﹣3，x2=﹣7，則A（﹣3，0），B（﹣7，0）

∴AB=4，

∴S四邊形ACBD=2× ×4×4=16．

【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=4m2﹣4（m2+m+1）=﹣4m﹣4＞0，然后解不等式即可；（2）先配方得到y(tǒng)=（x﹣m） 2+m+1，則頂點的縱坐標(biāo)為m+1，利用C點和D點關(guān)于x軸對稱得到m+1=﹣4，解得m=﹣5，所以y=x2+10 x+21，然后解方程x2+10 x+21=0得到A（﹣3，0），B（﹣7，0），再利用三角形面積公式計算四邊形ACBD的面積．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)圖象的平移的相關(guān)知識，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減，以及對拋物線與坐標(biāo)軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．