Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求A、B、C三點的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）若已知x軸上一點N（ ，0），則在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△CNQ是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=﹣x2+2x+3得到：y=﹣（x+1）（x﹣3），或y=﹣（x﹣1）2+4，

則A（﹣1，0），B（3，0），對稱軸是x=1．

令x=0，則y=3，

所以C（0，3），

綜上所述，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），對稱軸是x=1

（2）解：假設存在滿足條件的點Q．

設Q（1，m）．

又（0，3），

∴CN2=32+（ ）2= ，CQ2=12+（3﹣m）2=m2﹣6m+10．NQ2=（ ﹣1）2+m2= +m2．

①當點C是直角頂點時，則CN2+CQ2=NQ2，即 +m2﹣6m+10= +m2．

解得m= ，

此時點Q的坐標是（1， ）；

②當點N為直角頂點時，CN2+NQ2=CQ2，即 + +m2=m2﹣6m+10

解得m=﹣ ，

此時點Q的坐標是（1，﹣ ）；

③當點Q為直角頂點時，CQ2+NQ2=CN2，即 = +m2+m2﹣6m+10

解得m= 或m= ，

此時點Q的坐標是（1， ）或（1， ）．

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：（1， ）或（1，﹣ ）或（1， ）或（1， ）

【解析】（1）分別令y=0,x=0,可求出拋物線與x軸、y軸交點坐標；利用對稱軸公式x=-,求出對稱軸；（2）“是否存在”問題的基本解決方案法為：假設存在滿足條件的點Q，△CNQ是直角三角形可分為三類：①當點C是直角頂點時②當點N為直角頂點時③當點Q為直角頂點時，再利用勾股定理列出方程，得出答案.