【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E,以AE為直徑作⊙O.
(1)求證:直線BC是⊙O的切線;
(2)若∠ABC=30°,⊙O的直徑為4,求陰影部分面積.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連接OD,由AE為直徑、DE⊥AD可得出點(diǎn)D在⊙O上且∠DAO=∠ADO,根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO,由“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”可得出AC∥DO,再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°,進(jìn)而即可證出BC是⊙O的切線;
(2)由題意得出AE=4,DO=AO=EO=AE=2,由直角三角形的性質(zhì)得出CD,DE,由勾股定理求出AD,AC,由三角函數(shù)求出BC,由三角形面積、梯形面積和扇形面積公式即可得出答案.
(1)連接OD,如圖所示.
在Rt△ADE中,點(diǎn)O為AE的中心,
∴DO=AO=EO=AE,
∴點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAO=∠ADO.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAO,
∴∠ADO=∠CAD,
∴AC∥DO.
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC.
∵OD為半徑,
∴BC是⊙O的切線;
(2)∵⊙O的直徑為4,
∴AE=4,DO=AO=EO=AE=2.
∵∠ABC=30°,
∴∠CAD=∠DAO=30°,
∴CD=AD,DE=AE=2,AD==2,
∴CD=,AC==3.
∵tan∠ABC=,
∴BC=3,
∴陰影部分面積=S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE
=ACBC﹣(OD+AC)CD﹣
=×3×3﹣(2+3)×﹣
=2﹣π.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,O為AC、BD的交點(diǎn),△DCE為Rt△,∠CED=90°,OE=,若CEDE=5,則正方形的面積為( )
A.5B.6C.7D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作.在它的“方程”一章里,一次方程組是由算籌布置而成的.《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的,為看圖方便,我們把它改為橫排,如圖1、圖2.圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x,y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng).把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來,就是,類似地,圖2所示的算籌圖我們可以表述為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員12場(chǎng)比賽得分情況用圖表示如下:
對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行比較,下列四個(gè)結(jié)論中,不正確的是( 。
A.甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差B.甲運(yùn)動(dòng)員得分的的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的的中位數(shù)
C.甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均數(shù)D.甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后,通過“三弧法”作了一個(gè)△ACD,其作法步驟是:①作線段AB,分別以A,B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧的交點(diǎn)為C;②以B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D;③連結(jié)AC,BC,CD.下列說法不正確的是( 。
A.∠A=60°B.△ACD是直角三角形
C.BC=CDD.點(diǎn)B是△ACD的外心
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點(diǎn),連接AC,BC,過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.
(1)求證:AEBC=ADAB;
(2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC=,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材,若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工,若甲、乙共同整理20分鐘后,乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工.
⑴問乙單獨(dú)整理多少分鐘完工?
⑵若乙因工作需要,他的整理時(shí)間不超過30分鐘,則甲至少整理多少分鐘才能完工?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為改善辦學(xué)條件,計(jì)劃購進(jìn)A,B兩種規(guī)格的書架,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)有線下和線上兩種購買方式,具體情況如下表:
(1)如果在線下購買A,B兩種書架20個(gè),共花費(fèi)5520元,求A,B兩種書架各購買了多少個(gè).
(2)如果在線上購買A,B兩種書架20個(gè),共花費(fèi)W元,設(shè)其中A種書架購買m個(gè),求W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在(2)的條件下,若購買B種書架的數(shù)量不少于A種書架數(shù)量的2倍,請(qǐng)求出花費(fèi)最少的購買方案,并計(jì)算按照這種購買方案,線上比線下節(jié)約多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“2020鹽城國(guó)際半程馬拉松”的賽事共有三項(xiàng):A、“半程馬拉松”、B、“10公里”、C、“迷你馬拉松”.小明和小華參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作,組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到三個(gè)項(xiàng)目組.
(1)小明被分配到“迷你馬拉松”項(xiàng)目組的概率為 ;
(2)請(qǐng)用表格或樹狀圖列出所有可能情況,求小明和小華被分配到不同項(xiàng)目組的概率.
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