Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接PQ，將線段PQ繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QE，以PQ、QE為邊作正方形PQEF．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）

（1）點(diǎn)P到邊AB的距離為______（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求t的值

（3）連接BE，設(shè)△BEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式

（4）當(dāng)E、F兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）t；（2）t=1；（3）S=；（4）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形，求出PH即可；

（2）根據(jù)平行線成比例性質(zhì)，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，，即可求出t；

（3）分為0＜t＜1和1≤t≤2兩種情況，進(jìn)行討論；

（4）根據(jù)題目，當(dāng)F點(diǎn)在AB上時(shí)，此時(shí)t=1，當(dāng)0＜t≤1．時(shí)，當(dāng)E、F至少有一個(gè)點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，沒(méi)有點(diǎn)在內(nèi)部．

解：（1）如圖1，作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，AC=．

根據(jù)題意，AP=t，

∵∠A=∠A，∠B=∠AHP，

∴△AHP～△ABC，

∴，即，解得PH=t，

即點(diǎn)P到邊AB的距離為t．

故答案為t

（2）根據(jù)題意，AP=，BQ=2t，AQ=4-2t，

當(dāng)PQ∥BC時(shí)，，即，解得t=1

（3）由（1）可知，E，F運(yùn)動(dòng)過(guò)程可分為兩個(gè)階段

當(dāng)0＜t＜1，如圖2，連接BE，作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，作GE⊥AB交AB于點(diǎn)G，

∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°，

∵，

∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4-4t，

S=，

當(dāng)1≤t≤2，

連接BE，作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，作GE⊥AB交AB于點(diǎn)G，

同理可證∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4t-4，

S=，

∵S＞0，∴t≠0，

∴S=；

（4）由（1）知，當(dāng)F點(diǎn)在AB上時(shí)，此時(shí)t=1，

當(dāng)0＜t≤1．時(shí)，當(dāng)E、F至少有一個(gè)點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，沒(méi)有點(diǎn)在內(nèi)部．