【題目】如圖,△AOB中,A(-8,0),B(0, ),AC平分∠OAB,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,與x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E,EC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F,

(1)求⊙P的半徑;
(2)求證:EF為⊙P的切線;
(3)若點(diǎn)H是 上一動(dòng)點(diǎn),連接OH、FH,當(dāng)點(diǎn)P在 上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究 是否為定值?若為定值,求其值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:依據(jù)題意有OA=8,OB= ,則tan∠BAO= ÷8= .

AC是∠BAO的角平分線,則 tan∠BAO= ,得tan∠CAO= 或-2(舍).

已知AO=8,則tan∠CAO= = ,OC=4。

顯然AD是圓P的直徑,CO⊥AD,則易知 AOC∽ COD,

tan∠DCO=∠CAO= = ,OD=2.

所以AD=AO+DO=8+2=10.

圓P的半徑 10÷2=5

故答案為5.


(2)

證明:連接CP,

∵AP=CP

∴∠PAC=∠PCA

∵AC平分∠OAB

∴∠PAC=∠EAC

∴∠PCA=∠EAC

∴PC//AE

∵CE⊥AB

∴CP⊥EF即EF是⊙P的切線


(3)

是定值, 連接PH

由(1)得AP=PC=PH=5,

∵A(-8,0)

∴OA=8

∴OP=OA-AP=3

在Rt△POC中,

由射影定理可得 ,

∴OF=

∴PF=PO+OF=

又∵∠HPO=∠FPH

∴△POH∽△PHF

當(dāng)H與D重合時(shí),


【解析】(1)根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出tan∠BAO的值,根據(jù)AC是∠BAO的角平分線,進(jìn)而表示出tan∠CAO的值,已知AO的長(zhǎng)度,表示出OC和OD的值,從而求出圓P的半徑。(2)連接PC,已知CE⊥AB,證明PC//AB,則必然有PC⊥CE,從而證明EF是圓P的切線。(3)證明△POH∽△PHF,通過(guò)相似性,當(dāng)H與D重合時(shí), 。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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