【題目】一個(gè)形如的五位自然數(shù)(其中a表示該數(shù)的萬位上的數(shù)字,b表示該數(shù)的千位上的數(shù)字,c表示該數(shù)的百位上的數(shù)字,d表示該數(shù)的十位上的數(shù)字,e表示該數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字,且),若有且,則把該自然數(shù)叫做“對(duì)稱數(shù)”,例如在自然數(shù)12321中,3=2+1,則12321是一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”. 同時(shí)規(guī)定:若該“對(duì)稱數(shù)”的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)的平方差被693的奇數(shù)倍,則稱該“對(duì)稱數(shù)”為“智慧對(duì)稱數(shù)”.如在“對(duì)稱數(shù)”43734中,,則43734是一個(gè)“智慧對(duì)稱數(shù)”.
(1)將一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置,同時(shí),將千位上與萬位上的數(shù)字交換位置,稱交換前后的這兩個(gè)“對(duì)稱數(shù)”為一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”。例如:12321與21312為一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”, 求證:任意的一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”之和是最小“對(duì)稱數(shù)”的倍數(shù);
(2)求出所有的“智慧對(duì)稱數(shù)”中的最大“智慧對(duì)稱數(shù)”.
【答案】(1)見解析;(2)最大的“智慧對(duì)稱數(shù)”為81918.
【解析】(1)根據(jù)新定義表示一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”,相加變形后可得結(jié)論;
(2)根據(jù)“智慧對(duì)稱數(shù)”表示這兩個(gè)數(shù):10a+b和10b+a,作平方差列式:(10a+b)2-(10b+a)2=99(a2-b2),且a2-b2被7的奇數(shù)倍整除,進(jìn)行分類討論即可確定結(jié)論.
詳(1)證明:∵“對(duì)稱數(shù)”:,
“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”:,
∴+=(10000a+1000b+100c+10d+e)+(10000b+1000a+100c+10e+d),
=11000a+11000b+200c+11e+11d,
∵c=a+b,
∴200c=200a+200b,
∵a=e,b=d,
∴+=11211a+11211b,
∴最小“對(duì)稱數(shù)”是11211,
∴(+)÷11211=a+b,
∵a、b都是正整數(shù),
∴+能被11211整除,
∴任意的一組“相關(guān)對(duì)稱數(shù)”之和是最小“對(duì)稱數(shù)”的倍數(shù);
(2)由(1)知五位“對(duì)稱數(shù)”形式為. 若此“對(duì)稱數(shù)”為“智慧對(duì)稱數(shù)”,
(10a+b)2-(10b+a)2=99(a2-b2),且a2-b2被7的奇數(shù)倍整除.
∵1≤a≤9,1≤b≤9
∴-80≤a2-b2≤80,
∴a2-b2=±7,±21,±35,±42,±49,±63,±77,
當(dāng)a2-b2=7時(shí),a=4,b=3,c=7,
當(dāng)a2-b2=-7時(shí),a=3,b=4,c=7,
當(dāng)a2-b2=21時(shí),a=5,b=2,c=7;
當(dāng)a2-b2=-21時(shí),a=2,b=5,c=7;
當(dāng)a2-b2=35時(shí),a=6,b=1,c=7;
當(dāng)a2-b2=-35時(shí),a=1,b=6,c=7;
當(dāng)a2-b2=49時(shí),不符合題意;當(dāng)a2-b2=-49時(shí),不符合題意.
當(dāng)a2-b2=63時(shí),a=8,b=1,c=9;當(dāng)a2-b2=-63時(shí),a=1,b=8,c=9;
當(dāng)a2-b2=77時(shí),不符合題意;當(dāng)a2-b2=-77,不符合題意.
∴所有的“智慧對(duì)稱數(shù)”為:43734,34743,52725,61716,16761,81918,18981.
∴最大的“智慧對(duì)稱數(shù)”為81918.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】佳樂家超市元旦期間搞促銷活動(dòng),活動(dòng)方案如下表:
一次性購物 | 優(yōu)惠方案 |
不超過200元 | 不給予優(yōu)惠 |
超過200元,而不超過1000元 | 優(yōu)惠10% |
超過1000元 | 其中1000元按8.5折優(yōu)惠,超過部分按7折優(yōu)惠 |
小穎在促銷活動(dòng)期間兩次購物分別支付了134元和913元.
(1)小穎兩次購買的物品如果不打折,應(yīng)支付多少錢?
(2)在此活動(dòng)中,他節(jié)省了多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn),它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),設(shè)的面積為,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)同學(xué)們就餐時(shí)剩余飯菜較多,浪費(fèi)嚴(yán)重,于是準(zhǔn)備在校內(nèi)倡導(dǎo)“光盤行動(dòng)”,讓同學(xué)們珍惜糧食,為了讓同學(xué)們理解這次活動(dòng)的重要性,校學(xué)生會(huì)在某天午餐后,隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)這餐飯菜的剩余情況,并將結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有 人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并在圖上標(biāo)明相應(yīng)的數(shù)據(jù);
(3)校學(xué)生會(huì)通過數(shù)據(jù)分析,估計(jì)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供50人食用一餐.據(jù)此估算,該校18000名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供多少人食用一餐.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)驗(yàn)室里,水平圓桌面上有甲乙丙三個(gè)圓柱形容器(容器足夠高),底面半徑之比為1:2:1,用兩根相同的管子在容器的5cm高度處連接(即管子底端離容器底5cm),現(xiàn)三個(gè)容器中,只有甲中有水,水位高1cm,如圖所示.若每分鐘同時(shí)向乙和丙注入相同量的水,開始注水1分鐘,乙的水位高度為cm,則開始注入________分鐘的水量后,甲與乙的水位高度之差是cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點(diǎn)P在線段AB上,且AC=1+,PA=,則:
①線段PB= ,PC= ;
②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請(qǐng)你利用圖②給出證明過程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿足,求的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知高鐵的速度比動(dòng)車的速度快50 km/h,小路同學(xué)從蘇州去北京游玩,本打算乘坐動(dòng)車,需要6h才能到達(dá);由于得知開通了高鐵,決定乘坐高鐵,她發(fā)現(xiàn)乘坐高鐵比乘坐動(dòng)車節(jié)約72 min.求高鐵的速度和蘇州與北京之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,N是DC的中點(diǎn),M是AD上異于D的點(diǎn),且∠NMB=∠MBC,則tan∠ABM=_____.
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