【題目】如圖,點(diǎn)A、BO上,直線ACO的切線,ODOB,連接ABOC于點(diǎn)D

求證:AC=CD

AC=2,AO=,求OD的長(zhǎng)度.

【答案】證明:AC切線,

OAAC

∴∠OAC=90°,

∴∠OABCAB=90°

OCOB,

∴∠COB=90°,

∴∠ODBB=90°

OA=OB

∴∠OAB=∠B

∴∠CAB=∠ODB

∵∠ODB=∠ADC,

∴∠CAB=∠ADC

AC=CD

解:在RtOAC中,OC==3

OD=OCCD=OCAC=32=1

【解析】

試題(1)由AC為圓的切線,利用切線的性質(zhì)得到∠OAC為直角,再由OCOB垂直,得到∠BOC為直角,由OA=OB,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,再利用對(duì)頂角相等及等角的余角相等得到一對(duì)角相等,利用等角對(duì)等邊即可得證.

2)由ODC=OD+DC,DC=AC,表示出OC,在直角三角形OAC中,利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng).

試題解析:(1∵OA=OB,∴∠OAB=∠B.

直線AC為圓O的切線,∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.

∵OB⊥OC,∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.

∵∠ODB=∠CDA∴∠CDA+∠B=90°.

∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.

2)在Rt△OAC中,AC=CD=2AO=,OC=OD+DC=OD+2,

根據(jù)勾股定理得:OC2=AC2+AO2,即(OD+22=22+2,

解得:OD=1(負(fù)值已舍去).

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