【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上,已知OA=6,OB=10.點(diǎn)Dy軸上一點(diǎn),其坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段ACCB的方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),求直線DP的函數(shù)解析式;

(2)如圖②,把長(zhǎng)方形沿著OP折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在使△BDP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) y=x+2;(2)見(jiàn)解析;(3)存在,滿足題意的P坐標(biāo)為(6, 6)或(6, )或(6,).

【解析】

(1)設(shè)直線DP解析式為y=kx+b,將DB坐標(biāo)代入求出kb的值,即可確定出解析式;(2)①當(dāng)PAC段時(shí),三角形ODPOD與高為固定值,求出此時(shí)面積;當(dāng)PBC段時(shí),底邊OD為固定值,表示出高,即可列出St的關(guān)系式;②當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上時(shí),關(guān)鍵勾股定理即可求出此時(shí)P坐標(biāo);(3)存在,分別以BD,DP,BP為底邊三種情況考慮,利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可.

(1)∵OA=6,OB=10,四邊形 OACB 為長(zhǎng)方形,∴C(6,10). 設(shè)此時(shí)直線 DP 解析式為 y=kx+b

把(0,2),C(6,10)分別代入,得 ,解得

則此時(shí)直線 DP 解析式為 y=x+2;

(2)①當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AC 上時(shí),OD=2,高為 6,S=6; 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BC 上時(shí),OD=2,高為 6+10-2t=16-2tS= 1 ×2×(16-2t)=-2t+16;

②設(shè) P(m,10),則PB= =m,如圖 2, ∵=OB=10, OA=6,

=10-8=2,

PC=6-m,∴m2=22+(6-m)2,解得m=,則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,10);

(3)存在,理由為:若△BDP為等腰三角形,分三種情況考慮:如圖3,

BD=BPl=OBOD=10-2=8,在 RtBCP1 中,BP1=8, BC=6,

根據(jù)勾股定理得: ,即P1(6,);

②當(dāng)BP2= DP2時(shí),此時(shí)P2(6,6);

③當(dāng)DB=DP3=8時(shí),在RtDEP3中,DE=6,根據(jù)勾股定理得:

,∴,即P3 (6,),

綜上,滿足題意的P坐標(biāo)為(6, 6)或(6, )或(6,).

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(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù):11、________、________;

(2)若第一個(gè)數(shù)用字母a(a為奇數(shù),且a≥3)表示,那么后兩個(gè)數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示?小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律4=,12=,24=……,于是他很快表示了第二數(shù)為 ,則用含a的代數(shù)式表示第三個(gè)數(shù)為________;

(3)用所學(xué)知識(shí)證明你的結(jié)論.

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小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張,再?gòu)氖O碌募埰须S機(jī)抽取另一張.請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列兩個(gè)問(wèn)題:

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(2)請(qǐng)你用樹狀圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號(hào)表示),并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件,使△BEC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.

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