Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過(guò)C點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)平移該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在直線l，若直線l恰好將△ABC的面積分為1：2兩部分，請(qǐng)求出此時(shí)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將△ABC以AC所在直線為對(duì)稱軸翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使△PB′C是以B′C為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2-x﹣2；(2)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(3﹣，0)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(﹣，)或(﹣1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入拋物線即可.

（2）先求出S△ABC，求出直線BC的解析式為，同理求得直線AC、AB的解析式，設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)F、E，根據(jù)，得出，求出x即可，設(shè)直線l與BC、AB分別交于點(diǎn)F、E，根據(jù)，得出 求出x即可.

（3）延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)P3，過(guò)點(diǎn)B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P1、P2，設(shè)直線B′P1的解析式為：，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)△AOB≌△AMB′求出B′的坐標(biāo)，得出直線B′P1的解析式為：，再根據(jù)得出P1、P2的坐標(biāo)，根據(jù) 得出P3的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1所示，

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，

∵∠BOA=∠ADC=90°，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA（AAS）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線，

∴解得：b=，

∴拋物線的解析式為：.

（2）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，

∴.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），

∴ ，

解得k=，b=2，
∴.

同理求得直線AC的解析式為：，

直線AB的解析式為：y=-2x+2，
設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）
如圖2：設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)F、E，則EF=.

△CEF中，EF邊上的高h=OD-x=3-x．
由題意得：，

即：，

∴，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去），

如圖3：

設(shè)直線l與BC、AB分別交于點(diǎn)F、E，

則EF=

△BEF中，EF邊上的高h=x．
由題意得：.

即：.

解得x1=1，x2=-1（不合題意，舍去）
當(dāng)直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（，0）時(shí)，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分，
（3）存在．
如圖4，

延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)P3，過(guò)點(diǎn)B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P1、P2，

則CB∥B′P1，
設(shè)直線B′P1的解析式為：，

過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥x軸于點(diǎn)M，
在△AOB和△AMB′中，

，

∴△AOB≌△AMB′（AAS），

∴B′M=BO=2，
AM=AO=1，

∴B′的坐標(biāo)為（2，-2），

∴，

∴b=，

∴直線B′P1的解析式為：y=

由 得 或 ，

∴P1的坐標(biāo)是（-1，-1），P2的坐標(biāo)是 ，

∵∠ACB=∠ACB′=45°，
∴∠B′CP3=90°，

由 得： （舍去），或 ，

∴P3的坐標(biāo)是 ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是P1（-1，-1），P2，P3.