Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2），動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向移動(dòng)，△ABP是以AB為斜邊的等腰直角三角形（點(diǎn)A、B、P順時(shí)針方向排列），當(dāng)點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合時(shí)，得到等腰直角△OBC（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合）．

（1）BC=______；當(dāng)OA=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是______；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0）（t≥0）．

①求證：點(diǎn)A在移動(dòng)過程中，△ABP的頂點(diǎn)P一定在射線OC上；

②用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（______，______）；

（3）過點(diǎn)P做y軸的垂線PQ，Q為垂足，當(dāng)t=______時(shí)，△PQB與△PCB全等．

Answer 1

【答案】（1），（2，2）；（2）①見解析，②，；（3）2+2．

【解析】

（1）作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．證明△PMB≌△PNA即可解決問題．

（2）①利用角平分線的判定定理證明OP平分∠AOB即可．

②利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．

（3）如圖，作PN⊥OA于N．利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問題．

解：（1）作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．

∵△OBC是等腰直角三角形，OB=2，

∴BC=OBcos45°=，

∵∠PMN=∠PNA=∠PNO=∠MON=90°，

∴∠MPN=∠BPA=90°，四邊形PMON是矩形，

∴∠MPB=∠NPA，

∵PB=PA，

∴△PMB≌△PNA（AAS），

∴PM=PN，BM=AN，

∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4，

∴OM=ON=2，

∴四邊形PMON是正方形，

∴P（2，2）．

故答案為：，（2，2）．

（2）①由（1）可知：PM=PN，

∵PM⊥OB，PN⊥OA，

∴OP平分∠AOB，

∵∠BOC=45°，

∴OC平分∠AOB，

∴點(diǎn)P在射線OC上．

②由（1）可知：2OM=OB+OA=2+t，

∴OM=ON=，

∴P（，）．

故答案為：，．

（3）如圖，作PN⊥OA于N．

由（1）可知：△PQC≌△PNA．△PQC≌△PBC，

∴QC=BC=AN=，

∵四邊形PNOQ是正方形，

∴ON=OQ=PN=PQ=2+，

∴OA=2++=2+2，

∴t=2+2，

故答案為:2+．