【題目】如圖,邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2.
(1)若將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD,BE,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AD和BE又怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;
(2)在(1)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,邊D′E′的中點(diǎn)為P,連接AP,當(dāng)AP最大時(shí),求AD′的值.
(3)若點(diǎn)M為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且MA=4a,MB=5a,MC=3a,求∠AMC的度數(shù).
【答案】(1)AD'=BE',理由見(jiàn)解析;(2)2;(3)∠AMC=150°.
【解析】試題分析:(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出點(diǎn)A,C,P三點(diǎn)共線,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出結(jié)論;
(3)將△BMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ANC,連接MN,只要證明△CMN是等邊三角形,△AMN是Rt△即可解決問(wèn)題;
試題解析:(1)結(jié)論:AD'=BE',
理由:當(dāng)α≠180°時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠ACD'=∠BCE',
由(1)知,AC=BC,CD'=CE',
∴△ACD'≌△BCE',
∴AD'=BE';
(2)如圖連接CP,
在△ACP中,由三角形三邊關(guān)系得,AP<AC+CP,
∴當(dāng)點(diǎn)A,C,P三點(diǎn)共線時(shí),AP最大,
如圖1,在△D'CE'中,由P為D'E的中點(diǎn),得AP⊥D'E',PD'= ,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'= =2;
(3)將△BMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ANC,連接MN,
∴CM=CN,BM=AN,△BCM≌△ACN,
∵ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACN=∠BCM,
∴∠MCN=60°,
∴△CMN是等邊三角形,
∴∠CMN=60°,MN=CM=6,
在△AMN中,∵AM2+MN2=(4a)2+(3a)2=(5a)2=AN2,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMC=150°.
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【題目】如圖,小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙,已知該紙片寬AB為8cm,長(zhǎng)BC為10cm.當(dāng)小紅折疊時(shí),頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處(折痕為AE).想一想,此時(shí)EC有多長(zhǎng)?
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【題目】水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價(jià)格出售,每天可售出100斤,通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價(jià)銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?
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【題目】如圖,在中, 為邊的中點(diǎn). 是上一點(diǎn),⊙與相切于點(diǎn),且與、分別相交于點(diǎn)、.連接交于點(diǎn).
()求證: .
()已知, .當(dāng)是⊙的直徑時(shí),求的長(zhǎng).
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【題目】如圖,A、B、C、D為矩形的4個(gè)頂點(diǎn),AB=16cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以3 cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),一直到達(dá)點(diǎn)B為止;點(diǎn)Q以2 cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10 cm?(8′)
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【題目】如圖,將Rt△ABC沿某條直線折疊,使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合,折痕為DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,試求△ACD的周長(zhǎng);
(2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的度數(shù).
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【題目】一輛汽車行駛時(shí)的耗油量為0.1升/千米,如圖是油箱剩余油量(升)關(guān)于加滿油后已行駛的路程(千米)的函數(shù)圖象.
(1)根據(jù)圖象,直接寫出汽車行駛400千米時(shí),油箱內(nèi)的剩余油量,并計(jì)算加滿油時(shí)油箱的油量;
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并計(jì)算該汽車在剩余油量5升時(shí),已行駛的路程.
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【題目】如圖1,在四邊形中,,,對(duì)角線與交于點(diǎn),平分.
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(2)如圖2,在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接.若,,求的長(zhǎng).
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【題目】慶元大道兩側(cè)需要綠化,某綠化組承擔(dān)了此項(xiàng)任務(wù),綠化組工作一段時(shí)間后,提高了工作效率,該綠化組完成的綠化面積S(單位m2)與工作時(shí)間t(單位:h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則該綠化組提高工作效率前每小時(shí)完成的綠化面積是( )
A. 200B. 300C. 400D. 500
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