(2013•門頭溝區(qū)一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作DM⊥AB,交弦AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且DC=DE.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長(zhǎng).
分析:(1)連接OC,由OA=OC,DC=DE,利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等,根據(jù)DM垂直于AC,得到一對(duì)角互余,等量代換得到∠OCD=90°,即可得到DC為圓O的切線;
(2)過(guò)D作DG垂直于AC,連接OB,利用三線合一得到G為CE中點(diǎn),由CE長(zhǎng)求出EG長(zhǎng),利用對(duì)頂角相等得到∠DEG=∠AEM,確定出cos∠DEG=cos∠AEM,在直角三角形DEG中,利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),再利用勾股定理求出DG的長(zhǎng),由DM-DE求出EM的長(zhǎng),由一對(duì)直角相等,一對(duì)對(duì)頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似,由相似得比例求出AM與AE的長(zhǎng),AE+EC求出AC的長(zhǎng),由AB為圓的直徑,得到三角形ABC為直角三角形,利用銳角三角函數(shù)定義表示出cosA,即可求出AB的長(zhǎng),進(jìn)而確定出圓的半徑.
解答:(1)證明:如圖,連結(jié)OC,
∵OA=OC,DC=DE,
∴∠A=∠OCA,∠DCE=∠DEC,
又∵DM⊥AB,
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°,
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切線;
(2)如圖所示,過(guò)D作DG⊥AC,連接OB,
∵DC=DE,CE=10,
∴EG=
1
2
CE=5,
∵cos∠DEG=cos∠AEM=
EG
DE
=
5
13
,
∴DE=13,
∴DG=
DE2-EG2
=12,
∵DM=5,
∴EM=DM-DE=2,
∵∠AME=∠DGE=90°,∠AEM=∠DEG,
∴△AEM∽△DEG,
AM
DG
=
EM
EG
=
AE
DE
,即
AM
12
=
2
5
=
AE
13
,
∴AM=
24
5
,AE=
26
5
,
∴AC=AE+EC=
76
5
,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴cosA=
AM
AE
=
AC
AB

∴AB=
247
15
,
則圓O的半徑為
1
2
AB=
247
30
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定,以及相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
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4
3
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10
3
10
3
m.

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