(2013•門(mén)頭溝區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(1,0)、C(3,0).直線AC與y軸交于點(diǎn)G(0,6).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E.
(1)求直線AC的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△CQE的面積最大?最大值為多少?
(3)在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點(diǎn)H,使得以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?
分析:(1)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將G(0,6)、C(3,0)兩點(diǎn)代入,即可求出k、b的值,從而得到一次函數(shù)解析式.
(2)將△CQE的底和高用含x的代數(shù)式表示出來(lái),列出關(guān)于x的二次函數(shù)解析式,求最值即可.
(3)求出CM的關(guān)于t的表達(dá)式,根據(jù)四邊形CQEH為菱形求得H=CQ=t,再利用勾股定理求出t的值即可.
解答:解:(1)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.
∵直線AC經(jīng)過(guò)G(0,6)、C(3,0)兩點(diǎn),
b=6
3k+b=0.

解這個(gè)方程組,得
k=-2
b=6.

∴直線AC的解析式為y=-2x+6. 
(2)當(dāng)x=1時(shí),y=4.
∴A(1,4).
∵AP=CQ=t,
∴點(diǎn)P(1,4-t).
將y=4-t代入y=-2x+6中,得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+
t
2

∴點(diǎn)E到CD的距離為2-
t
2

∴S△CQE=
1
2
•t•(2-
t
2
)
=-
1
4
t2+t
=-
1
4
(t-2)2+1

∴當(dāng)t=2時(shí),S△CQE最大,最大值為1.
(3)過(guò)點(diǎn)E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的下方時(shí),連結(jié)CH.
∵EM=4-t,
∴HM=4-2t.
OM=1+
t
2

CM=2-
t
2

∵四邊形CQEH為菱形,
∴CH=CQ=t.
在Rt△HMC中,由勾股定理得CH2=HM2+CM2
t2=(4-2t)2+(2-
t
2
)2

整理得 13t2-72t+80=0.
解得 t1=
20
13
,t2=4(舍).
∴當(dāng)t=
20
13
時(shí),以C,Q,E,H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方時(shí),同理可得當(dāng)t=20-8
5
時(shí).以C,Q,E,H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
∴t的值是t=
20
13
t=20-8
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)綜合題,包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值、菱形的性質(zhì),難度較大.
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4
3
πcm2
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10
3
10
3
m.

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