【題目】(14分)如圖1,△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6cm,點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE,連結(jié)DE.
(1)求證:△CDE是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時(shí),△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)存在
【解析】試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論;
(2)當(dāng)6<t<10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,于是得到結(jié)論;
(3)存在,①當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形,②當(dāng)0≤t<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2÷1=2s;③當(dāng)6<t<10s時(shí),此時(shí)不存在;④當(dāng)t>10s時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.
試題解析:(1)證明:∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(2)存在,當(dāng)6<t<10時(shí),
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,
此時(shí),CD=2cm,
∴△BDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2+4;
(3)存在,①∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形,
∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),不符合題意;
②當(dāng)0≤t<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2s;
③當(dāng)6<t<10s時(shí),由∠DBE=120°>90°,
∴此時(shí)不存在;
④當(dāng)t>10s時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14s.
綜上所述:當(dāng)t=2或14s時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
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