Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式。
（2）求△ABC的面積。若P是拋物線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)C），且滿足△ABP的面積等于△ABC的面積，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B ， C重合），過M作MN∥ 軸交拋物線于N ， 若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ，請用含 的代數(shù)式表示線段MN的長。
（4）在（3）的條件下，連接NB、NC ， 則是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求 的值，并求出△BNC面積的最大值。若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知條件可設(shè)拋物線解析式為 ，

∵點(diǎn)C（0,3）在拋物線上.

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為 .

（2）解：∵點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴AB=4，OC=3

∴ S△ABC= ，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，

∵ S△ABP= S△ABC=6，

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對值等于OC的長，即：

當(dāng)－x2+2x+3.=3時，解得

∴P（0,3）（舍）， P（2,3）

當(dāng)－x2+2x+3.=-3時，解得

∴P（ ,-3）， P（ ,-3）

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）（ ,-3）（ ,-3）

（3）解：如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)D，

∵M(jìn)N∥y軸，點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,

∴N的橫坐標(biāo)為m, D（m,0)

∵點(diǎn)N在拋物線上

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N( m, －m2+2m+3),

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

∴ 解得

∴直線BC的解析式為y= －x+3.

∵點(diǎn)M在直線BC上,

∴點(diǎn)M（m, －m+3)

∴MN=DN－DM=(－m2+2m+3)－(－m+3)=－m2+3m

（4）解：存在.如2，連接BN、CN

設(shè)△BNC的面積為S，則

∵ ，且 ，

∴ 時，△BNC的面積最大，最大面積為 .

【解析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)的特點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出函數(shù)解析式。
（2）先根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別求出AB、OC的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)果；根據(jù)已知△ABP的面積等于△ABC的面積，而AB=4, S△ABC= 6 ,可求出△ABP的AB邊上的高為3，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值等于3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=±3，建立方程，求解即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）根據(jù)已知MN∥y軸，交拋物線與N，根據(jù)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線BC的函數(shù)解析式，就可表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用含m的代數(shù)式分別表示出DN、DM的長，即可求出MN關(guān)于m的函數(shù)解析式。
（4）連接BN、CN，根據(jù)△BNC的面積=△BMN的面積+△MNC的面積，△BMN和△MNC有公共的底邊，兩三角形的高之和為OB的長，可建立s與m的函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的最值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．