Question

【題目】（1）已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O．點(diǎn)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC．

①如圖1，當(dāng)線(xiàn)段PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，試寫(xiě)出線(xiàn)段PA，PB，PC之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖2，點(diǎn)P為上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），試探究線(xiàn)段PA，PB，PC之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)P，PE⊥AC于E，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①PA+PB＝PC，理由詳見(jiàn)解析；②PA+PB＝PC，理由詳見(jiàn)解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）由圓周角定理得出∠PAC＝∠PBC＝90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠BAC＝60°，求出∠ACP＝∠BCP＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出PA＝PC，PB＝PC，即可得出結(jié)論；

②在PC上截取PD＝PA，連接AD，證明△APD是等邊三角形，得出AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，證出∠DAC＝∠PAB，證明△ACD≌△ABP（SAS），得出DC＝PB，即可得出結(jié)論；

（2）在AC上截取ED＝AE．連接PD并延長(zhǎng)交圓O于G．連接CG，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PA＝PD，由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出得出∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∠PAD＝∠G．得出∠CDG＝∠G，證出CG＝CD，證出∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．得出 ，得出，證出AB＝CG．即可得出答案．

解：（1）①，理由如下：

線(xiàn)段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

是的直徑，

，

是等邊三角形，

，

，

，，

；

②，理由如下：

在上截取，連接，如圖2所示：

是等邊三角形，

，，

，

，

是等邊三角形，

，，

，

在和中，，

，

，

；

（2）在上截取．連接并延長(zhǎng)交圓于．連接，如圖3所示：

，，

，

．

．

，

，

又平分，

．

，

．

，即，

．