Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上．

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使△PBC面積為1；

（3）在x軸下方且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（2，1）；（3）存在，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x，交BC與點(diǎn)D，先求得直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+1，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+1），則D（x，﹣ x+1），然后可得到PD與x之間的關(guān)系式，接下來(lái)，依據(jù)△PBC的面積為1列方程求解即可；

（3）首先依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得到∠BQC=∠BAC=45°，設(shè)△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB=90°，設(shè)⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，依據(jù)勾股定理可求得⊙M的半徑，然后依據(jù)外心的性質(zhì)可得到點(diǎn)M為直線(xiàn)y=﹣x與x=1的交點(diǎn)，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)M的坐標(biāo)以及⊙M的半徑可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+x+1；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x，交BC與點(diǎn)D，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，則，解得：k=﹣，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+1，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣ x2+x+1），則D（x，﹣ x+1），

∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，

∴S△PBC=OBDP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，

又∵S△PBC=1，

∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（2，1）；

（3）存在．

∵A（﹣1，0），C（0，1），

∴OC=OA=1，

∴∠BAC=45°，

∵∠BQC=∠BAC=45°，

∴點(diǎn)Q為△ABC外接圓與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在x軸下方的交點(diǎn)，

設(shè)△ABC外接圓圓心為M，則∠CMB=90°，

設(shè)⊙M的半徑為x，則Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，

解得：x=（負(fù)值已舍去），

∵AC的垂直平分線(xiàn)的為直線(xiàn)y=﹣x，AB的垂直平分線(xiàn)為直線(xiàn)x=1，

∴點(diǎn)M為直線(xiàn)y=﹣x與x=1的交點(diǎn)，即M（1，﹣1），

∴Q的坐標(biāo)為（1，﹣1﹣）．