【題目】定義:
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,李老師給出如下定義:如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.
理解:
(1)如圖,已知、是上兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn),使為“智慧三角形”(畫出點(diǎn)的位置,保留作圖痕跡);
(2)如圖,在正方形中,是的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說(shuō)明理由;
運(yùn)用:
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的半徑為1,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若在上存在一點(diǎn),使得為“智慧三角形”,當(dāng)其面積取得最小值時(shí),直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)是否為“智慧三角形”,理由見(jiàn)解析;(3)點(diǎn)的坐標(biāo),.
【解析】
(1)連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解;
(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF、CF以及EC、BE的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”;
(3)根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo),從而求解.
(1)解析】如圖所示
(2)是否為“智慧三角形”,
理由如下:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,
∵是的中點(diǎn),∴,
∵,∴,,
在中,,
在中,,
在中,,
∴,
∴是直角三角形,
∵斜邊上的中線等于的一半,
∴為“智慧三角形”;
(3)如圖所示:
由“智慧三角形”的定義可得為直角三角形,
根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,
由勾股定理可得,,
由勾股定理可求得,
故點(diǎn)的坐標(biāo),.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,等邊△ABC,點(diǎn) E 在 BA 的延長(zhǎng)線上,點(diǎn) D 在 BC 上,且 ED=EC.
(1)如圖 1,求證:AE=DB;
(2)如圖 2,將△BCE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°至△ACF(點(diǎn) B、E 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A、F),連接 EF.在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段,使每對(duì)線段長(zhǎng)度之差等于 AB 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn),EF⊥DE交AB于F,若四邊形AFED的面積為4,則四邊形AFED的周長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),,點(diǎn)為的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線分別與,相交于點(diǎn),.若,則長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A,B是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和4,則△OAB的面積是( 。
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題原型:如圖①,在等腰直角三角形中,,,中點(diǎn)為,將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié),過(guò)點(diǎn)作邊上的高,易證,從而得到的面積為.
初步探究:如圖②,在中,,,中點(diǎn)為.將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié).用含的代數(shù)式表示的面積,并說(shuō)明理由.
簡(jiǎn)單應(yīng)用:如圖③,在等腰三角形中,,,中點(diǎn)為.將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié),直接寫出的面積.(用含的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=(x+1)(x﹣3)與x軸相交于A、B兩點(diǎn),若在拋物線上有且只有三個(gè)不同的點(diǎn)C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面積都等于m,則m的值是( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=8,CB=6,動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿CA方向,以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)后立即以原來(lái)速度沿AC返回;同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q到達(dá)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥CB?
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,在CB上是否存在點(diǎn)E使△CEP與△PQA全等?若存在,求出CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D,交折線QB﹣BC﹣CP于點(diǎn)F.當(dāng)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),求出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,E是AB的中點(diǎn),以E為圓心,線段ED的長(zhǎng)為半徑作半圓,交直線AB于點(diǎn)M,N,分別以線段MD,ND為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為_____________
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