Question

【題目】如圖1，在圓O中，直徑CD⊥弦AB于點E，點P是CD延長線上一點，連接PB、BD．

（1）若BD平分∠ABP，求證：PB是圓O的切線；

（2）若PB是圓O的切線，AB＝4，OP＝4，求OE的長；

（3）如圖2，連接AP，延長BD交AP于點F，若BD⊥AP，AB＝2，OP＝4，求tan∠BDE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）OE＝2；（3）tan∠BDE＝．

【解析】

（1）連接BC，BO，根據(jù)圓周角定理得到∠CBD＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC＝∠C，于是得到結(jié)論；

（2）設OB＝r，OE＝x，證△OBE∽△OPB得 ，即r2＝4x，在Rt△OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得關于x的方程，解之可得答案；

（3）連接BC，BO，根據(jù)已知條件得到AP∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C＝∠APC，根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝PE，設OE＝x，CO＝BO＝r，根據(jù)勾股定理即可得到x的值，進一步可得DE的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得答案．

解：（1）連接BC，BO，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CBD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DBE＝∠C＝90°﹣∠CDB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，

∵∠PBD＝∠EBD，

∴∠PBD＝∠OBC，

∴∠PBO＝90°，

∴PB是⊙O的切線；

（2）設OB＝r，OE＝x，

∵PB為⊙O的切線，CD⊥AB，

∴∠OBP＝∠OEB＝90°，

又∵∠BOE＝∠POB，

∴△OBE∽△OPB，

則，即，

∴r2＝4x，

∵AB＝4，CD⊥AB，

∴AE＝BE＝2，

在Rt△OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得4x＝x2+4，

解得：x＝2，即OE＝2；

（3）如圖2，連接BC，BO，

∵CD是⊙O的直徑，

∴BC⊥BD，

∵BD⊥AP，

∴AP∥BC，

∴∠C＝∠APC，

∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴AE＝BE，

∴AP＝BP，

∴∠APC＝∠BPC，

∴∠C＝∠BPC，

∴CE＝PE，

設OE＝x，CO＝BO＝r，

∴r+x＝4﹣x，

∴r＝4﹣2x，

∵AB＝2，

∴BE＝AB＝，

在Rt△BEO中，BO2＝OE2+BE2，即（4﹣2x）2＝x2+（）2，

解得：x＝1或x＝（不合題意，舍去），

∴OE＝1、OD＝OB＝4﹣2＝2，

則DE＝OD﹣OE＝1，

∴tan∠BDE＝ ＝．