Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

求此拋物線的解析式；

設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)與面積相等時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

點(diǎn)P在線段AM上，當(dāng)PC與y軸垂直時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將沿直線CE翻折，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與P、E、C處在同一平面內(nèi)，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】點(diǎn)D的坐標(biāo)為或點(diǎn)不在該拋物線上

【解析】

由拋物線經(jīng)過(guò)的C點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的面積公式以及與面積相等，即可得出關(guān)于含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；

作點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于H，設(shè)交y軸于點(diǎn)根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得出≌，從而得出，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，在中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結(jié)論．

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，

，解得：，

所求拋物線的解析式為，

依照題意畫(huà)出圖形，如圖1所示，

令，解得：或，

故A，，

，為等腰直角三角形，

設(shè)AC交對(duì)稱(chēng)軸于，

由點(diǎn)、可知直線AC的解析式為，

，即，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，

則．，

又，且，

，解得：或，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；

如圖2，點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于H，設(shè)交y軸于點(diǎn)N．

在和中，，

≌，

設(shè)，則，

、可知直線AM的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，

，，

在中，由勾股定理，得：，

解得：，

，

，

由∽可得：，

，

，

的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)代入拋物線解析式，

得：，

點(diǎn)不在該拋物線上．