Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與直線AC交于點(diǎn)C（2，3），直線AC與拋物線的對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)D，連接BD．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿DA、DB運(yùn)動(dòng)，連接MN，將△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判斷四邊形DMD′N的形狀，并說(shuō)明理由，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，點(diǎn)D′恰好落在x軸上？

（3）在平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（異于A點(diǎn)），使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（全等除外）？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．（2）四邊形DMD′N是正方形，理由見(jiàn)解析,經(jīng)過(guò)s時(shí)，點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處．（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）．

【解析】試題分析：（1）先利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式，從而得出對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)；

（2）由拋物線解析式求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)可知△ABD為等腰直角三角形，即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°，由翻折性質(zhì)得D′M=DM、DN=ND′，從而得出四邊形MDND′為菱形，根據(jù)∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形；設(shè)DM=DN=t，在Rt△D′NB中D′N=t、BN=2-t、BD′=2，根據(jù)勾股定理即可得出t的值；

（3）由△ABD為等腰直角三角形及△PBD與△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，結(jié)合圖形即可得答案．

解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

將A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=kx+b，

得： ，解得： ，

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=x+1，

又∵點(diǎn)D是直線AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，

∴xD=1，yD=1+1=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．

（2）四邊形DMD′N是正方形，理由如下：

∵拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，得﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AD==2，BD==2，AB=1+3=4，

而AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，

由翻折可知：D′M=DM、DN=ND′，

又∵DM=DN，

∴四邊形MDND′為菱形，

∵∠MDN=90°，

∴四邊形MDND′是正方形；

設(shè)DM=DN=t，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)D′處時(shí)，

∵四邊形MDND′為正方形，

∴∠D′NB=90°，

在Rt△D′NB中，D′N=t，BN=2﹣t，BD′=2，

∴t2+（2﹣t）2=22，

∴t1=t2=，

即：經(jīng)過(guò)s時(shí)，點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處．

（3）存在，

如圖，

由（2）知△ABD為等腰直角三角形，

∵△PBD與△ABD相似，且不全等，

∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）．