Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，﹣4），AD與y軸交于點(diǎn)E，且E為AD的中點(diǎn)，雙曲線y= 經(jīng)過C，D兩點(diǎn)且D（a，8）、C（4，b）．

（1）求a、b、k的值；

（2）如圖2，點(diǎn)P在雙曲線y= 上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) a=2，k=16，b=4；(2) Q1（6，0）或Q1（-6，0）Q1（2，0）.

【解析】分析：

（1）如下圖，過點(diǎn)D作DP⊥y軸于點(diǎn)P，結(jié)合已知條件可證得△PDE≌△OAE，由此可得PD==a=OA=2，這樣即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入中即可求得k的值，再結(jié)合點(diǎn)C（4，b）在該反比例函數(shù)的圖象上即可求得b的值；

（2）如下圖，分AB為所求平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況結(jié)合已知條件分析討論即可.

（1）如圖1，過點(diǎn)D作DP⊥y軸于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE．

又∵DP⊥y軸，∠AOE=90°，

∴∠DPE=∠AEO．

∵在△PDE與△OAE中， ，

∴△PDE≌△OAE（ASA），

∴PD=OA，

∵A（﹣2，0），

∴a=2，

∴D（2，8）．

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=xy=2×8=16．

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，C的坐標(biāo)為（4，b），

∴b==4，

∴a=2，k=16，b=4；

（2）∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在x軸上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），

如下圖，①當(dāng)AB為所求平行四邊形ABP1Q1的邊時(shí)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4）可得點(diǎn)P此時(shí)的坐標(biāo)（-4，-4），∴PB=AQ1=4，

∴OQ1=OA+AQ1=6，

∴此時(shí)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-6，0）；

②當(dāng)AB為所求平行四邊形ABQ2P2的邊時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知點(diǎn)P到x軸的距離=點(diǎn)B到x軸的距離=4，

∴點(diǎn)P此時(shí)的坐標(biāo)為（4，4）；

又∵點(diǎn)P可以可知是由點(diǎn)A平移得到的，而點(diǎn)Q2可以看著是由點(diǎn)B平移得到的，

∴由平移的性質(zhì)可得點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（6，0）；

③當(dāng)AB為所求平行四邊形AP1BQ3的對(duì)角線時(shí)，由AQ3=PB結(jié)合①中所得PB=4可得AQ3=4，

∵AO=2，

∴OQ3=4-2=2，

∴Q3的坐標(biāo)為（2，0）；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè)，坐標(biāo)分別為：Q1（-6，0）或Q2（6，0）或Q3（2，0）.