Question

【題目】在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：2與拋物線C2：2關(guān)于軸對(duì)稱，C2與軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)交y軸于點(diǎn)D．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）對(duì)于拋物線C2：2在第三象限部分的一點(diǎn)P，作PF⊥軸于F，交AD于點(diǎn)E，若E關(guān)于PD的對(duì)稱點(diǎn)E′恰好落在軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在拋物線C1上是否存在一點(diǎn)G，在拋物線C2上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、B、G、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出G、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)，B(1，0)；（2），；（3）存在滿足條件的點(diǎn)G、Q，其坐標(biāo)為G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

【解析】

（1）由對(duì)稱可求得、的值，則可求得兩函數(shù)的對(duì)稱軸，可求得的值，則可求得兩拋物線的函數(shù)表達(dá)式；由C2的函數(shù)表達(dá)式可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）可判定四邊形PEDE′是菱形，然后根據(jù)PE＝DE的條件，列出方程求解；

（3）由題意可知AB可能為平行四邊形的邊或?qū)�角線，利用平行四邊形的性質(zhì)，可設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)和Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入C2的函數(shù)表達(dá)式可求得G、Q的坐標(biāo)．

（1）∵C1、C2關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C1與C2的交點(diǎn)一定在軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，

∴＝1，＝﹣3，

∴C1的對(duì)稱軸為＝1，

∴C2的對(duì)稱軸為＝，

∴＝2，

∴C1的函數(shù)表示式為2，C2的函數(shù)表達(dá)式為2；

在C2的函數(shù)表達(dá)式為2中，令＝0可得2，

解得或，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；

（2）∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PD對(duì)稱，

∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠EPD＝∠PDE′，

∴∠E′PD＝∠PDE′，

∴PE′＝DE′，

∴PE＝DE＝PE′＝DE′，

即四邊形PEDE′是菱形．

當(dāng)四邊形PEDE′是菱形存在時(shí)，由直線AD解析式，∠ADO＝45°，

設(shè)P(，2)，E(，)，

∴DE＝﹣，PE＝﹣32+3＝﹣23，

∴﹣23，解得a1＝0（舍去），a2＝，

∴P()．

（3）存在．

∵AB的中點(diǎn)為(﹣1，0)，且點(diǎn)G在拋物線C1上，點(diǎn)Q在拋物線C2上，

當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時(shí)，

∴GQ∥AB且GQ＝AB，

由（2）可知AB＝1(﹣3)＝4，

∴GQ＝4，

設(shè)G(t，t22t3)，則Q(t+4，t2t3)或(t4，t22t3)，

①當(dāng)Q(t+4，t2+2t3)時(shí)，則t22t3＝(t+4)2+2(t+4)3，

解得t＝﹣2，

∴t22t3＝4+43＝5，

∴G(﹣2，5)，Q(2，5)；

②當(dāng)Q(t4，t22t3)時(shí)，則t22t3＝(t4)2+2(t4)3，

解得t＝2，

∴t22t3＝443＝﹣3，

∴G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)，

當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)G(m，m22m3)，Q(n，n2+2n3)，

∴

解得m＝，n＝﹣2或m＝﹣，n＝﹣2+，

∴G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)G、Q，其坐標(biāo)為G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)．